Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Норма линейного оператора и функционала
СообщениеДобавлено: 17 дек 2013, 14:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 дек 2013, 14:30
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Найти норму линейного оператора А: CL1[0,1] -> l(беск) вида (Ax)(k) = int(x(t)sin(kt)dt) от 0 до 1, для любого х принадлежащего C[0,1] и любого натурального к

можно ли оценивать int(sin(kt)dt) от 0 до 1. < 1? Как можно более точно оценить?

2) Найти норму линейного функционала f: C[0,1] -> R вида f(x) = int(x(t)sin(1/t)dt) от 0 до 1. для любого х принадлежащего C[0,1]

Тут я не понимаю что делать с int(sin(1/t)dt) от 0 до 1, ведь sin(1/t) в 0 не существует.

Была бы очень признательна, если бы вы помогли с решением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма линейного оператора и функционала
СообщениеДобавлено: 17 дек 2013, 15:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Aisa писал(а):
...
Тут я не понимаю что делать с [math]\int(sin(1|t)dt[/math] от 0 до 1, ведь sin(1/t) в 0 не существует.

Вот смотрите: в окрестности нуля непрерывная функция [math]x(t)=x(0)+0(1)[/math] , поэтому

[math]\int \limits_0^{\epsilon}x(t)\sin(\frac1t)dt = x(0)\int \limits_0^{\epsilon}\sin(\frac1t)dt + \int \limits_0^{\epsilon}0(1)\sin(\frac1t)dt=x(0)\int \limits_{\frac{1}{\epsilon}}^{+\infty}\frac{\sin(u)du}{u^2}+\int \limits_0^{\epsilon}0(1)\sin(\frac1t)dt[/math],
теперь первое слагаемое точно сходится, а второе - ОЧЕНЬ маленькое, и с ним, таким ничтожным, каждый дурак справится... :ROFL:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма линейного оператора и функционала
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 20:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Aisa
Из неравенства
[math]{\left\|{Ax}\right\|_\infty}= \mathop{\sup}\limits_{k \in \mathbb{N}}\left|{\int\limits_0^1{x\left( t \right)\sin kt\,dt}}\right| \leqslant \left\| x \right\|\mathop{\sup}\limits_{k \in \mathbb{N}}\int\limits_0^1{\left|{\sin kt}\right|\,dt}[/math]
выводим
[math]\left\| A \right\| \leqslant \mathop{\sup}\limits_{k \in \mathbb{N}}\int\limits_0^1{\left|{\sin kt}\right|\,dt}[/math]
Отметим, что
[math]\mathop{\sup}\limits_{k \in \mathbb{N}}\int\limits_0^1{\left|{\sin kt}\right|\,dt}\leqslant \int\limits_0^1{\sin 2t\,dt}={\sin ^2}1 \approx 0.708073[/math]
Отсюда получаем, что норма оператора равна [math]{\sin ^2}1[/math], т.к. нужная оценка достигается на функции [math]x\left( t \right) = 1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Aisa
 Заголовок сообщения: Re: Норма линейного оператора и функционала
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 12:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 дек 2013, 14:30
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Норма линейного функционала

в форуме Численные методы

veronica

0

466

13 июн 2015, 18:59

Норма линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

veronica

0

641

13 июн 2015, 18:42

Норма линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

karenmil

1

439

21 апр 2021, 11:46

Норма не линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

neurocore

5

615

13 дек 2016, 16:32

Норма линейного функционала

в форуме Численные методы

veronica

0

415

13 июн 2015, 19:51

Норма линейного оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alex921

1

1106

25 апр 2016, 22:09

Норма линейного оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

julia127

8

488

19 ноя 2021, 23:37

Норма функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Anna65

4

920

17 окт 2014, 19:26

Норма функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Balthazie

8

923

26 май 2015, 19:17

Норма оператора в L2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

milan0780

6

2081

29 апр 2014, 20:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved