Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Aisa |
|
|
можно ли оценивать int(sin(kt)dt) от 0 до 1. < 1? Как можно более точно оценить? 2) Найти норму линейного функционала f: C[0,1] -> R вида f(x) = int(x(t)sin(1/t)dt) от 0 до 1. для любого х принадлежащего C[0,1] Тут я не понимаю что делать с int(sin(1/t)dt) от 0 до 1, ведь sin(1/t) в 0 не существует. Была бы очень признательна, если бы вы помогли с решением. |
||
Вернуться к началу | ||
grigoriew-grisha |
|
|
Aisa писал(а): ... Тут я не понимаю что делать с [math]\int(sin(1|t)dt[/math] от 0 до 1, ведь sin(1/t) в 0 не существует. Вот смотрите: в окрестности нуля непрерывная функция [math]x(t)=x(0)+0(1)[/math] , поэтому [math]\int \limits_0^{\epsilon}x(t)\sin(\frac1t)dt = x(0)\int \limits_0^{\epsilon}\sin(\frac1t)dt + \int \limits_0^{\epsilon}0(1)\sin(\frac1t)dt=x(0)\int \limits_{\frac{1}{\epsilon}}^{+\infty}\frac{\sin(u)du}{u^2}+\int \limits_0^{\epsilon}0(1)\sin(\frac1t)dt[/math], теперь первое слагаемое точно сходится, а второе - ОЧЕНЬ маленькое, и с ним, таким ничтожным, каждый дурак справится... |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Aisa
Из неравенства [math]{\left\|{Ax}\right\|_\infty}= \mathop{\sup}\limits_{k \in \mathbb{N}}\left|{\int\limits_0^1{x\left( t \right)\sin kt\,dt}}\right| \leqslant \left\| x \right\|\mathop{\sup}\limits_{k \in \mathbb{N}}\int\limits_0^1{\left|{\sin kt}\right|\,dt}[/math] выводим [math]\left\| A \right\| \leqslant \mathop{\sup}\limits_{k \in \mathbb{N}}\int\limits_0^1{\left|{\sin kt}\right|\,dt}[/math] Отметим, что [math]\mathop{\sup}\limits_{k \in \mathbb{N}}\int\limits_0^1{\left|{\sin kt}\right|\,dt}\leqslant \int\limits_0^1{\sin 2t\,dt}={\sin ^2}1 \approx 0.708073[/math] Отсюда получаем, что норма оператора равна [math]{\sin ^2}1[/math], т.к. нужная оценка достигается на функции [math]x\left( t \right) = 1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Aisa |
||
Aisa |
|
|
Спасибо!
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |