Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Фундаментальность последовательностей http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=27776 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Wild_Spy [ 13 ноя 2013, 14:58 ] |
Заголовок сообщения: | Фундаментальность последовательностей |
Приветствую всех. Необходимо доказать что последовательности фундаментальны: а) [math]X_{n} =\frac{ 1 }{ 2 } +\frac{ 1 }{ 2^{2} } +...+\frac{ 1 }{ 2^{n} }[/math] б) [math]X_{n} =\frac{ 1 }{ 1! } +\frac{ 1 }{ 2! } +...+\frac{ 1 }{ n! }[/math] Как доказывать не имею не малейшего понятия, прошу помощи и по возможности расписать поподробнее... Заранее спасибо. |
Автор: | Alexander N [ 13 ноя 2013, 15:12 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Фундаментальность последовательностей |
Что то незнакомый термин фундаментальные последовательности. Может доказать их сходимость? [math]X_n=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}-> 1[/math] [math]X_n=\frac{1}{1!}+ ......\frac{1}{n!}-> e[/math] PS. Хотя википедия выдает, что фундаментальная последовательность это просто сходящаяся в себе последовательность. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F3%ED% ... E%F1%F2%FC |
Автор: | Wild_Spy [ 13 ноя 2013, 15:18 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Фундаментальность последовательностей |
Alexander N писал(а): PS. Хотя википедия выдает, что фундаментальная последовательность это просто сходящаяся в себе последовательность. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F3%ED% ... E%F1%F2%FC Ага, уже нашел. Большое спасибо. |
Автор: | Wild_Spy [ 13 ноя 2013, 15:34 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Фундаментальность последовательностей |
Может подскажите еще тогда... Цитата: Является ли
а) в [math]C [-\frac{ 1 }{ 2 };\frac{ 1 }{ 2 }][/math] б) в [math]C [0;1][/math] фундаментальной последовательностью [math]\varphi_{n}(t)=t^{n}[/math] ? |
Автор: | Human [ 13 ноя 2013, 20:21 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Фундаментальность последовательностей |
Всё-таки нужно понимать, что фундаментальность и сходимость - это разные понятия. Из сходимости следует фундаментальность, но обратное выполняется только в полных метрических пространствах. Пространство непрерывных функций полно, поэтому достаточно исследовать указанную последовательность функций на равномерную сходимость на указанных отрезках. На отрезке [math]\left[-\frac12;\frac12\right][/math] она сходится равномерно к нулевой функции, что легко доказывается по признаку Вейерштрасса. На отрезке [math][0;1][/math] она сходится поточечно к разрывной в единице функции, поэтому не сходится равномерно (иначе бы это противоречило теореме о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). |
Автор: | grigoriew-grisha [ 13 ноя 2013, 22:28 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Фундаментальность последовательностей |
Human писал(а): ... А вот и нет! Все зависит от метрики.
Пространство непрерывных функций полно... |
Автор: | Human [ 14 ноя 2013, 14:05 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Фундаментальность последовательностей |
grigoriew-grisha писал(а): А вот и нет! Все зависит от метрики. Обычно, когда говорят о пространстве [math]C[a;b][/math] непрерывных функций, то по умолчанию имеют в виду метрику равномерной сходимости. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |