Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Фундаментальность последовательностей
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=27776
Страница 1 из 1

Автор:  Wild_Spy [ 13 ноя 2013, 14:58 ]
Заголовок сообщения:  Фундаментальность последовательностей

Приветствую всех.

Необходимо доказать что последовательности фундаментальны:

а) [math]X_{n} =\frac{ 1 }{ 2 } +\frac{ 1 }{ 2^{2} } +...+\frac{ 1 }{ 2^{n} }[/math]

б) [math]X_{n} =\frac{ 1 }{ 1! } +\frac{ 1 }{ 2! } +...+\frac{ 1 }{ n! }[/math]

Как доказывать не имею не малейшего понятия, прошу помощи и по возможности расписать поподробнее...
Заранее спасибо.

Автор:  Alexander N [ 13 ноя 2013, 15:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Фундаментальность последовательностей

Что то незнакомый термин фундаментальные последовательности. Может доказать их сходимость?

[math]X_n=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}-> 1[/math]

[math]X_n=\frac{1}{1!}+ ......\frac{1}{n!}-> e[/math]

PS. Хотя википедия выдает, что фундаментальная последовательность это просто сходящаяся в себе последовательность.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F3%ED% ... E%F1%F2%FC

Автор:  Wild_Spy [ 13 ноя 2013, 15:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Фундаментальность последовательностей

Alexander N писал(а):

PS. Хотя википедия выдает, что фундаментальная последовательность это просто сходящаяся в себе последовательность.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F3%ED% ... E%F1%F2%FC


Ага, уже нашел. Большое спасибо.

Автор:  Wild_Spy [ 13 ноя 2013, 15:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Фундаментальность последовательностей

Может подскажите еще тогда...

Цитата:
Является ли
а) в [math]C [-\frac{ 1 }{ 2 };\frac{ 1 }{ 2 }][/math]

б) в [math]C [0;1][/math]

фундаментальной последовательностью [math]\varphi_{n}(t)=t^{n}[/math] ?

Автор:  Human [ 13 ноя 2013, 20:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Фундаментальность последовательностей

Всё-таки нужно понимать, что фундаментальность и сходимость - это разные понятия. Из сходимости следует фундаментальность, но обратное выполняется только в полных метрических пространствах.

Пространство непрерывных функций полно, поэтому достаточно исследовать указанную последовательность функций на равномерную сходимость на указанных отрезках. На отрезке [math]\left[-\frac12;\frac12\right][/math] она сходится равномерно к нулевой функции, что легко доказывается по признаку Вейерштрасса. На отрезке [math][0;1][/math] она сходится поточечно к разрывной в единице функции, поэтому не сходится равномерно (иначе бы это противоречило теореме о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций).

Автор:  grigoriew-grisha [ 13 ноя 2013, 22:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Фундаментальность последовательностей

Human писал(а):
...
Пространство непрерывных функций полно...
А вот и нет! Все зависит от метрики. :hh:)

Автор:  Human [ 14 ноя 2013, 14:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Фундаментальность последовательностей

grigoriew-grisha писал(а):
А вот и нет! Все зависит от метрики.


Обычно, когда говорят о пространстве [math]C[a;b][/math] непрерывных функций, то по умолчанию имеют в виду метрику равномерной сходимости.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/