Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Норма оператора
СообщениеДобавлено: 30 окт 2013, 19:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 окт 2013, 19:08
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти норму оператора A:C[0,1]->C[0,1], если (Ax)(t)= ∫e^(a(t-s)) x(s)ds, ∫от 0 до 1, а>0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора
СообщениеДобавлено: 31 окт 2013, 11:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 окт 2013, 19:08
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я в этом ничего не понимаю((( помогите пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора
СообщениеДобавлено: 31 окт 2013, 19:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вам нужно найти наилучшую константу [math]C[/math] в неравенстве
[math]\left\|{Ax}\right\| \leqslant C\left\| x \right\|[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2013, 22:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 окт 2013, 19:08
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как его найти?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2013, 22:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сначала оценим норму оператора сверху. Для этого надо постараться получить неравенство вида [math]\left\|{Ax}\right\| \leqslant C \cdot \left\| x \right\|[/math] с наиболее лучшей константой [math]C[/math]. Имеем
[math]\left\|{Ax}\right\| = \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{Ax\left( t \right)}\right| = \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{\int\limits_0^1{{e^{a\left({t - s}\right)}}x\left( s \right)ds}}\right| \leqslant \mathop{\max}\limits_{s \in \left[{0,1}\right]}\left|{x\left( s \right)}\right| \cdot \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{\int\limits_0^1{{e^{a\left({t - s}\right)}}ds}}\right| = C \cdot \left\| x \right\|[/math],
где
[math]C = \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{\int\limits_0^1{{e^{a\left({t - s}\right)}}ds}}\right| = \frac{1}{a}\left({{e^a}- 1}\right)[/math]
Следовательно,
[math]\left\| A \right\| \leqslant C = \frac{1}{a}\left({{e^a}- 1}\right)[/math]
С другой стороны, взяв в качестве пробной функции функцию равную единице на промежутке ([math]x\left( s \right) \equiv 1[/math]), норма которой равна [math]1[/math], видим, что
[math]\left\|{Ax}\right\| = \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{\int\limits_0^1{{e^{a\left({t - s}\right)}}\cdot 1ds}}\right| = C \cdot \left\| x \right\| = \frac{1}{a}\left({{e^a}- 1}\right) \cdot \left\| x \right\|[/math]
Отсюда следует, что норма оператора равна [math]C[/math], т.е.
[math]\left\| A \right\| = C = \frac{1}{a}\left({{e^a}- 1}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexdemath
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2013, 12:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 окт 2013, 19:08
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, спасибо))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Норма оператора в L2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

milan0780

6

2081

29 апр 2014, 20:34

Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Class

4

513

19 сен 2018, 14:10

Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Antichny

2

1103

10 июл 2014, 14:12

Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Progilive

4

896

01 дек 2014, 15:12

Ограниченность оператора и его норма

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

zxc12232

0

259

15 дек 2019, 14:37

Норма линейного оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

julia127

8

488

19 ноя 2021, 23:37

Норма линейного оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alex921

1

1106

25 апр 2016, 22:09

Функциональный анализ. Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

miland

2

292

11 дек 2020, 18:33

Норма оператора в банаховом пространстве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Serega4444

1

366

18 янв 2015, 14:44

Для оператора A:E3 → R. Ax=x*a*b, найти образ оператора

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Inna0444

6

187

08 июн 2022, 14:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved