Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Irina_676 |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Irina_676 |
|
|
Я в этом ничего не понимаю((( помогите пожалуйста
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Вам нужно найти наилучшую константу [math]C[/math] в неравенстве
[math]\left\|{Ax}\right\| \leqslant C\left\| x \right\|[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Irina_676 |
|
|
Как его найти?
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Сначала оценим норму оператора сверху. Для этого надо постараться получить неравенство вида [math]\left\|{Ax}\right\| \leqslant C \cdot \left\| x \right\|[/math] с наиболее лучшей константой [math]C[/math]. Имеем
[math]\left\|{Ax}\right\| = \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{Ax\left( t \right)}\right| = \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{\int\limits_0^1{{e^{a\left({t - s}\right)}}x\left( s \right)ds}}\right| \leqslant \mathop{\max}\limits_{s \in \left[{0,1}\right]}\left|{x\left( s \right)}\right| \cdot \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{\int\limits_0^1{{e^{a\left({t - s}\right)}}ds}}\right| = C \cdot \left\| x \right\|[/math], где [math]C = \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{\int\limits_0^1{{e^{a\left({t - s}\right)}}ds}}\right| = \frac{1}{a}\left({{e^a}- 1}\right)[/math] Следовательно, [math]\left\| A \right\| \leqslant C = \frac{1}{a}\left({{e^a}- 1}\right)[/math] С другой стороны, взяв в качестве пробной функции функцию равную единице на промежутке ([math]x\left( s \right) \equiv 1[/math]), норма которой равна [math]1[/math], видим, что [math]\left\|{Ax}\right\| = \mathop{\max}\limits_{t \in \left[{0,1}\right]}\left|{\int\limits_0^1{{e^{a\left({t - s}\right)}}\cdot 1ds}}\right| = C \cdot \left\| x \right\| = \frac{1}{a}\left({{e^a}- 1}\right) \cdot \left\| x \right\|[/math] Отсюда следует, что норма оператора равна [math]C[/math], т.е. [math]\left\| A \right\| = C = \frac{1}{a}\left({{e^a}- 1}\right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alexdemath |
||
Irina_676 |
|
|
Prokop, спасибо))
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |