Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Александров, "Введение в теорию множеств и общую топологию"
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 11:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 сен 2013, 06:47
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, форумчане!)
Возникают вопросы по ходу прочтения книги Александрова П. С. "Введение в теорию множеств и общую топологию" - был бы признателен за помощь в трактовке и объяснение некоторых моментов.

Изображение


Например, по двум вышеперечисленным абзацам, где автор вводит понятие "малого образа". Вот как я понимаю сказанное.
Говоря отображение "в" автор имеет ввиду иньекцию, то есть каждому х из X соответствует y из Y. Допустим, имеем множества
X = {1,2,3,4}

Y = {1,4,9,16,25}

И отображение
[math]f = x^{2}[/math]

А также подмножество M множества X
M = {1,2,3}

По определению, малым образом будет множество
Im(M) = {1,4,9}

И вот вопрос - согласно второму абзацу, по определению, каждый элемент у из Y, которому не поставлен в соответствие x из X принадлежит к любому Im(M)(т.е. к малому образу любого подмножества множества M). Но как так может быть, раз в нашем примере подобным элементом является у = 25 (ему не сопоставлен х), и по определению, малым образом множества M являются те элементы множества Y, прообразы которых содержатся в M(прообраза y = 25 в множестве M нет)?

Буду благодарен за помощь в трактовке сказанного автором и нахождение логических ошибок в моих суждениях, заранее спасибо.)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Александров, "Введение в теорию множеств и общую топологию"
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 12:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pioner_hero писал(а):
Говоря отображение "в" автор имеет ввиду иньекцию, то есть каждому х из X соответствует y из Y.


Не обязательно, предлог "в" здесь не определяет какого-то конкретного вида отображения, в отличие от предлога "на", который определяет сюръективные отображения. Но я Александрова не читал, так что не могу утверждать наверняка.

Pioner_hero писал(а):
По определению, малым образом будет множество
Im(M) = {1,4,9}


Нет, согласно определению, [math]f^{\sharp}M=\{1,4,9,25\}[/math], поскольку [math]f^{-1}(25)=\varnothing\subset M[/math].

Здесь примерно та же ситуация, по которой пустое множество (в классическом матане, без учёта топологии) считается открытым. По определению, множество из [math]\mathbb{R}^n[/math] называется открытым, если каждая его точка лежит в нём вместе с некоторой окрестностью. С одной стороны, в пустом множестве нет точек, поэтому нельзя проверить определение. Но с другой стороны в пустом множестве нет и точек, для которых определение не выполнялось. Поэтому считают пустое множество открытым, рассуждая так: если бы оно не было открытым, то обязательно нашлась бы точка этого множества, окрестность которой не лежала бы в множестве. То есть из отрицания определения следует, что в пустом множестве должны быть точки - противоречие. :)

Похожее рассуждение можно провести и здесь: если бы 25 не лежало в [math]f^{\sharp}M[/math], то это означало бы, что прообраз точки 25 не содержится в [math]M[/math]. Что это означает? Только то, что есть точка [math]x[/math] из прообраза, не лежащая в [math]M[/math]. Но у 25 нет точек прообраза - противоречие :)

В этом отличие малого образа от обычного образа, для последнего специально требуется, чтобы существовал непустой прообраз.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Pioner_hero
 Заголовок сообщения: Re: Александров, "Введение в теорию множеств и общую топологию"
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 12:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 сен 2013, 06:47
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Огромнейшее спасибо за развернутое пояснение!)
Надо бы уже привыкнуть апеллировать пустым множеством вместо привычного мне "нет решений" :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Александров, "Введение в теорию множеств и общую топологию"
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 12:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хочу ещё уточнить моё последнее предложение.

[math]y\in f^{\sharp}M[/math] означает, что [math]f^{-1}(y)\subset M[/math].

[math]y\in f(M)[/math] означает, что [math]f^{-1}(y)\cap M\ne\varnothing[/math].

То есть определения, по сути, весьма разные, и могут быть различные соотношения между образом и малым образом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Pioner_hero
 Заголовок сообщения: Re: Александров, "Введение в теорию множеств и общую топологию"
СообщениеДобавлено: 22 фев 2016, 19:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 сен 2013, 06:47
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени!
Прошу помощи в прояснении момента. Согласно Александрову (стр. 105) граница множества М нигде не плотна. Но в случае когда замыкание множества совпадает со всем пространством и открытое ядро пусто(как, например в стандартной топологии в множестве действительных чисел и М состоящем из рациональных чисел), граница множества совпадает со всем пространством, т.е. всюду плотна. Буду благодарен за разъяснение.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача на Теорию множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Biba

1

265

31 окт 2017, 20:48

Задача на теорию множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

crazymadman18

6

544

12 сен 2017, 20:30

Разъясните абзац из книги про теорию множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

LonelyGamer

1

406

03 сен 2015, 19:56

Простое задание на логику и теорию множеств, торможу

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

TONYTHEDEALER

13

664

15 сен 2014, 22:53

Задача на общую сумму прибыли и общую рентабельность

в форуме Экономика и Финансы

Natali4422

1

292

07 июн 2015, 10:48

Два угла ABC и CBD имея общую вершину B и общую сторону BC

в форуме Геометрия

DimaK

8

253

28 авг 2019, 08:48

В чём заблуждается Георгий Александров (Avgust)?

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Talanov

48

1749

01 май 2015, 09:58

Определить наибольшую топологию

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

melika

1

295

11 янв 2018, 18:19

Задать на точечном множестве топологию

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

kojimbo

1

196

11 мар 2020, 19:02

Две метрики порождают одну и туже топологию на множестве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

_Sasha_

2

686

27 июн 2018, 15:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved