Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Pioner_hero |
|
|
Возникают вопросы по ходу прочтения книги Александрова П. С. "Введение в теорию множеств и общую топологию" - был бы признателен за помощь в трактовке и объяснение некоторых моментов. Например, по двум вышеперечисленным абзацам, где автор вводит понятие "малого образа". Вот как я понимаю сказанное. Говоря отображение "в" автор имеет ввиду иньекцию, то есть каждому х из X соответствует y из Y. Допустим, имеем множества X = {1,2,3,4} Y = {1,4,9,16,25} И отображение [math]f = x^{2}[/math] А также подмножество M множества X M = {1,2,3} По определению, малым образом будет множество Im(M) = {1,4,9} И вот вопрос - согласно второму абзацу, по определению, каждый элемент у из Y, которому не поставлен в соответствие x из X принадлежит к любому Im(M)(т.е. к малому образу любого подмножества множества M). Но как так может быть, раз в нашем примере подобным элементом является у = 25 (ему не сопоставлен х), и по определению, малым образом множества M являются те элементы множества Y, прообразы которых содержатся в M(прообраза y = 25 в множестве M нет)? Буду благодарен за помощь в трактовке сказанного автором и нахождение логических ошибок в моих суждениях, заранее спасибо.) |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Pioner_hero писал(а): Говоря отображение "в" автор имеет ввиду иньекцию, то есть каждому х из X соответствует y из Y. Не обязательно, предлог "в" здесь не определяет какого-то конкретного вида отображения, в отличие от предлога "на", который определяет сюръективные отображения. Но я Александрова не читал, так что не могу утверждать наверняка. Pioner_hero писал(а): По определению, малым образом будет множество Im(M) = {1,4,9} Нет, согласно определению, [math]f^{\sharp}M=\{1,4,9,25\}[/math], поскольку [math]f^{-1}(25)=\varnothing\subset M[/math]. Здесь примерно та же ситуация, по которой пустое множество (в классическом матане, без учёта топологии) считается открытым. По определению, множество из [math]\mathbb{R}^n[/math] называется открытым, если каждая его точка лежит в нём вместе с некоторой окрестностью. С одной стороны, в пустом множестве нет точек, поэтому нельзя проверить определение. Но с другой стороны в пустом множестве нет и точек, для которых определение не выполнялось. Поэтому считают пустое множество открытым, рассуждая так: если бы оно не было открытым, то обязательно нашлась бы точка этого множества, окрестность которой не лежала бы в множестве. То есть из отрицания определения следует, что в пустом множестве должны быть точки - противоречие. Похожее рассуждение можно провести и здесь: если бы 25 не лежало в [math]f^{\sharp}M[/math], то это означало бы, что прообраз точки 25 не содержится в [math]M[/math]. Что это означает? Только то, что есть точка [math]x[/math] из прообраза, не лежащая в [math]M[/math]. Но у 25 нет точек прообраза - противоречие В этом отличие малого образа от обычного образа, для последнего специально требуется, чтобы существовал непустой прообраз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Pioner_hero |
||
Pioner_hero |
|
|
Огромнейшее спасибо за развернутое пояснение!)
Надо бы уже привыкнуть апеллировать пустым множеством вместо привычного мне "нет решений" |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Хочу ещё уточнить моё последнее предложение.
[math]y\in f^{\sharp}M[/math] означает, что [math]f^{-1}(y)\subset M[/math]. [math]y\in f(M)[/math] означает, что [math]f^{-1}(y)\cap M\ne\varnothing[/math]. То есть определения, по сути, весьма разные, и могут быть различные соотношения между образом и малым образом. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Pioner_hero |
||
Pioner_hero |
|
|
Доброго времени!
Прошу помощи в прояснении момента. Согласно Александрову (стр. 105) граница множества М нигде не плотна. Но в случае когда замыкание множества совпадает со всем пространством и открытое ядро пусто(как, например в стандартной топологии в множестве действительных чисел и М состоящем из рациональных чисел), граница множества совпадает со всем пространством, т.е. всюду плотна. Буду благодарен за разъяснение. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |