Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Полнота, предкомпактность и компактность пространства
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=2648
Страница 1 из 1

Автор:  atatan [ 15 дек 2010, 19:19 ]
Заголовок сообщения:  Полнота, предкомпактность и компактность пространства

Помогите, пожалуйста, с контрольной по функциональному анализу

1. Пусть [math]M=(-1,0),~f \colon M \to \mathbb{R},~f(x)=\ln(x+2),~\rho_f(x,y)=|f(x)-f(y)|.[/math]
Полно ли пространство [math]\langle{M,\rho_f}\rangle[/math]? Если нет, найти его пополнение.

2. Пусть [math]M=\{\operatorname{arctg} \alpha t \colon \alpha\in(-\infty,-1]\} \subset X=C[0,1].[/math] Предкомпактно ли [math]M[/math]? Компактно ли [math]M[/math]?

Автор:  atatan [ 16 дек 2010, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства

с первой задачей вообще аут :( Кажется что оно не будет полным, но не знаю какую последовательность взять. И не понятно как строить пополнение

А вот во второй, доказала по теореме Арцела, что это предкомпакт. А как доказать что компакт? Что замыкание и есть само множество? Не понятно как брать последовательность функций :( И как тут играет роль альфа?
:blush:

Автор:  Prokop [ 16 дек 2010, 22:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства

В первой задаче надо заметить, что из сходимости в данной метрике следует сходимость в обычной метрике. Поэтому для полноты надо добавить точки 0 и 1.
Вторая задача. Интересно, как Вы доказали равностепенную непрерывность?

Автор:  atatan [ 16 дек 2010, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства

А в первой задаче какую последовательность можно взять чтобы показать что множество не полно?

А вот там видимо опять сыграла роль мое не знание арктангенса, у меня почему то в голове было что арктангенс х меньше х по модулю, но это не правильно наверно.
То есть равностепенной непрерывности не будет?

Автор:  Prokop [ 16 дек 2010, 22:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства

1. последовательности, которые сходятся к 0 и 1 в обычной метрике.

2. Модуль арктангенса меньше модуля х. Ноу Вас [math]\operatorname{arctg} \alpha x[/math]

Автор:  atatan [ 16 дек 2010, 23:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства

И во второй задаче если множество не будет предкомпактным, следовательно ни о какой компактности не может быть и речи, да?

Автор:  atatan [ 16 дек 2010, 23:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства

Значит нужно доказывать обратное? Что равностепенной непрерывности не будет => не предкомпакт?
Отрицание строить?

Автор:  Prokop [ 16 дек 2010, 23:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства

Дело в том, что поточечно при x>0 последовательность арктангенсов при [math]\alpha \to - \infty[/math] сходится к
[math]- \pi /2[/math], а в точке 0 она равна 0. Т.е. эта последовательность поточечно сходится к разрывной функции. Эта последовательность не может равномерно сходится к разрывной функции.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/