Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Полнота, предкомпактность и компактность пространства
СообщениеДобавлено: 15 дек 2010, 19:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2010, 14:43
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, пожалуйста, с контрольной по функциональному анализу

1. Пусть [math]M=(-1,0),~f \colon M \to \mathbb{R},~f(x)=\ln(x+2),~\rho_f(x,y)=|f(x)-f(y)|.[/math]
Полно ли пространство [math]\langle{M,\rho_f}\rangle[/math]? Если нет, найти его пополнение.

2. Пусть [math]M=\{\operatorname{arctg} \alpha t \colon \alpha\in(-\infty,-1]\} \subset X=C[0,1].[/math] Предкомпактно ли [math]M[/math]? Компактно ли [math]M[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства
СообщениеДобавлено: 16 дек 2010, 16:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2010, 14:43
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
с первой задачей вообще аут :( Кажется что оно не будет полным, но не знаю какую последовательность взять. И не понятно как строить пополнение

А вот во второй, доказала по теореме Арцела, что это предкомпакт. А как доказать что компакт? Что замыкание и есть само множество? Не понятно как брать последовательность функций :( И как тут играет роль альфа?
:blush:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства
СообщениеДобавлено: 16 дек 2010, 22:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2269 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первой задаче надо заметить, что из сходимости в данной метрике следует сходимость в обычной метрике. Поэтому для полноты надо добавить точки 0 и 1.
Вторая задача. Интересно, как Вы доказали равностепенную непрерывность?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства
СообщениеДобавлено: 16 дек 2010, 22:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2010, 14:43
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А в первой задаче какую последовательность можно взять чтобы показать что множество не полно?

А вот там видимо опять сыграла роль мое не знание арктангенса, у меня почему то в голове было что арктангенс х меньше х по модулю, но это не правильно наверно.
То есть равностепенной непрерывности не будет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства
СообщениеДобавлено: 16 дек 2010, 22:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2269 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. последовательности, которые сходятся к 0 и 1 в обычной метрике.

2. Модуль арктангенса меньше модуля х. Ноу Вас [math]\operatorname{arctg} \alpha x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства
СообщениеДобавлено: 16 дек 2010, 23:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2010, 14:43
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И во второй задаче если множество не будет предкомпактным, следовательно ни о какой компактности не может быть и речи, да?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства
СообщениеДобавлено: 16 дек 2010, 23:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2010, 14:43
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Значит нужно доказывать обратное? Что равностепенной непрерывности не будет => не предкомпакт?
Отрицание строить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота, предкомпактность и компактность пространства
СообщениеДобавлено: 16 дек 2010, 23:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2269 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дело в том, что поточечно при x>0 последовательность арктангенсов при [math]\alpha \to - \infty[/math] сходится к
[math]- \pi /2[/math], а в точке 0 она равна 0. Т.е. эта последовательность поточечно сходится к разрывной функции. Эта последовательность не может равномерно сходится к разрывной функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
atatan
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Полнота пространства (X,p)

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shooroop

10

836

20 дек 2013, 22:52

Полнота метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Ann96

1

420

22 ноя 2015, 16:18

Полнота метрического пространства

в форуме Численные методы

tanya_195

1

381

13 июн 2015, 10:59

Полнота метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Asiria

15

234

09 фев 2020, 15:27

Неравенство треугольника и полнота метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Mishima

1

361

04 дек 2016, 19:44

Предкомпактность единичного шара

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dauletfromast1996

1

349

04 янв 2016, 14:06

Предкомпактность в пространствах Соболева

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

rav4

1

436

23 дек 2012, 13:00

Полнота и замкнутость

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

genia2030

1

1519

28 ноя 2019, 17:31

Компактность оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dauletfromast1996

1

403

03 окт 2016, 22:38

Полнота системы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

pikelson

1

159

23 май 2016, 21:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved