Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 29 авг 2013, 18:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2013, 19:34
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде бы простая задача, но я чего-то не понимаю.
X, Y - банаховы пространства, А - компактный оператор, B - линейный непрерывный. R(B) ⊂ R(A). Доказать, что B тоже компактный.
Я так понимаю, нужно предположить, что есть какое-то ограниченное множество, которое B переводит не в компактное (т.е. в в его образе есть последовательность, из которой нельзя извлечь фундаментальную) и прийти к противоречию. Как?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 30 авг 2013, 00:49 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]K[/math] ограниченное подмножество в [math]X[/math], то

[math]B(K)\subseteq A(K)[/math]

[math]\overline{B(K)}\subseteq\overline{A(K)}[/math]

[math]\overline{A(K)}[/math] - компактное множество, [math]\overline{B(K)}[/math] - замкнутое множество, следовательно [math]\overline{B(K)}[/math] - компактное множество.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
hurrdurrrderp, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 30 авг 2013, 07:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2013, 19:34
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SzaryWilk
А не может быть вот такой ситуации? Тогда первая строчка не работает.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 30 авг 2013, 19:12 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какой ужас! Бред, конечно, уже никогда не буду решать никаких заданий ночью. Прошу прощения.
Вообще кажется, что эта теорема вообще не простая...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 12 сен 2013, 11:14 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hurrdurrrderp Что-то не верится в справедливость утверждения, но и примера нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 13 сен 2013, 16:13 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно, эту теорему можно доказать как-то проще, не используя теоремы Шаудера (которая утверждает, что если [math]X[/math] и [math]Y[/math] - банаховы пространства, то [math]A\in\mathcal{L}(X,Y)[/math] компактный [math]\Leftrightarrow A^*\in\mathcal{L}(Y^*,X^*)[/math] компактный), но понятия не имею, как. Поэтому попробуем о другому.

Идея такова: Найдем непрерывное отображение [math]C[/math] такое, что [math]B^*=CA^*[/math]. Таким образом докажем, что [math]B^*[/math] компактный . Затем снова используя эту теорему получим, что [math]B[/math] компактный.

1. Докажем, что линейное отображение
[math]C: \mathcal{R}(A^*)\rightarrow X^*[/math]


[math]C(A^*f)=B^*f[/math]


непрерывно.
Если нет, то найдется последовательность [math](f_n) \subset Y^*[/math] такая, что [math]||A^*f_n||= 1[/math] и

[math]||B^*f_n||\rightarrow \infty \hspace{30mm}(+)[/math]


Пусть теперь [math]x\in X[/math]. Так как [math]\mathcal{R}(B) \subset\mathcal{R}(A)[/math], то существует [math]v\in X[/math] такой, что [math]Av=Bx[/math]. Получаем

[math]B^*f_n(x)=f_n(Bx)=f_n(Av)=A^*f_n(v)[/math]


оттуда

[math]||B^*f_n(x)||\leq ||v||<\infty[/math]


при любых [math]n\in\mathbb{N}[/math].

По принципу равномерной ограниченности получаем оттуда

[math]\sup_{n\in\mathbb{N}}||B^*f_n||<\infty[/math]


что противоречит условию (+). Непрерывность [math]C[/math] доказана.

2. По теореме Шаудера [math]A^*[/math] компактный. Так как [math]B^*=CA^*[/math] и [math]C[/math] непрерывный, то [math]B^*[/math] компактный. Снова применяя теорему Шаудера получаем, что [math]B[/math] компактный.
Наверное, опять что-то не так.:crazy2:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 17 сен 2013, 09:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не ясно существование оператора [math]C[/math].
Если этот оператор определяется равенством
[math]C\left({A^ * f}\right) = B^ * f[/math],
то что получается при [math]A^ * f = 0[/math], но [math]B^ * f \ne 0[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
SzaryWilk
 Заголовок сообщения: Re: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 17 сен 2013, 14:10 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, спасибо, я должна была сразу это написать: так как [math]\mathcal{R}(B)\subset\mathcal{R}(A)[/math] то [math]\mathcal{N}(A^*)\subset\mathcal{N}(B^*)[/math]

(что можно обосновать тем, что [math]\mathcal{N}(A^*)=\mathcal{R}(A)^{\perp}[/math] или доказать по определению)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
Prokop
 Заголовок сообщения: Re: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 18 сен 2013, 21:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SzaryWilk, спасибо. Вам удалось построить линейный ограниченный оператор [math]C[/math], определённый на [math]\mathcal{R}\left( A^{*}\right)[/math]. По непрерывности его можно продолжить на замыкание этого множества. Нужно ли его продолжать на всё пространство [math]X^{*}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
SzaryWilk
 Заголовок сообщения: Re: Доказать компактность оператора
СообщениеДобавлено: 21 сен 2013, 21:00 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Думаю, нам это не нужно. В доказательстве того, что [math]T=VS[/math]компактный если [math]S[/math] компактный и [math]V[/math] ограниченный не пользуемся тем, что [math]V[/math] определен на всем пространстве. А Вы не согласны? Возможно, я ошибаюсь.
А остальная часть доказательства верна?
Хотелось бы еще построить ограниченный оператор [math]V[/math] такой, что [math]B=VA[/math], чтобы не проходить через сопряженные пространства, но я пока не знаю, как.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Компактность оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dauletfromast1996

1

543

03 окт 2016, 22:38

Функциональный анализ. Компактность оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Distorb

3

608

12 дек 2016, 12:07

Множество Нечетных функций и компактность оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MathGen

1

414

10 авг 2014, 10:24

Доказать существование обратного оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

solus

0

292

14 дек 2019, 04:56

Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

stnikitan

5

511

09 апр 2020, 20:42

Компактность произведения топ. пространств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dimanya

8

526

05 фев 2021, 17:09

Компактность множества в пространстве С[0, 1]

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Mishima

5

802

18 дек 2016, 16:00

Компактность в пространстве и условие Липшица

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

andor-1995

1

577

01 июн 2014, 17:55

Докажите компактность метризуемого пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dazolp

1

173

29 дек 2020, 19:07

Исследовать множество на компактность в пространстве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Avrora

0

456

18 ноя 2014, 19:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved