Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
hurrdurrrderp |
|
|
X, Y - банаховы пространства, А - компактный оператор, B - линейный непрерывный. R(B) ⊂ R(A). Доказать, что B тоже компактный. Я так понимаю, нужно предположить, что есть какое-то ограниченное множество, которое B переводит не в компактное (т.е. в в его образе есть последовательность, из которой нельзя извлечь фундаментальную) и прийти к противоречию. Как? |
||
Вернуться к началу | ||
SzaryWilk |
|
|
Если [math]K[/math] ограниченное подмножество в [math]X[/math], то
[math]B(K)\subseteq A(K)[/math] [math]\overline{B(K)}\subseteq\overline{A(K)}[/math] [math]\overline{A(K)}[/math] - компактное множество, [math]\overline{B(K)}[/math] - замкнутое множество, следовательно [math]\overline{B(K)}[/math] - компактное множество. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: hurrdurrrderp, mad_math |
||
hurrdurrrderp |
|
|
Вернуться к началу | ||
SzaryWilk |
|
|
Какой ужас! Бред, конечно, уже никогда не буду решать никаких заданий ночью. Прошу прощения.
Вообще кажется, что эта теорема вообще не простая... |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
hurrdurrrderp Что-то не верится в справедливость утверждения, но и примера нет.
|
||
Вернуться к началу | ||
SzaryWilk |
|
|
Возможно, эту теорему можно доказать как-то проще, не используя теоремы Шаудера (которая утверждает, что если [math]X[/math] и [math]Y[/math] - банаховы пространства, то [math]A\in\mathcal{L}(X,Y)[/math] компактный [math]\Leftrightarrow A^*\in\mathcal{L}(Y^*,X^*)[/math] компактный), но понятия не имею, как. Поэтому попробуем о другому.
Идея такова: Найдем непрерывное отображение [math]C[/math] такое, что [math]B^*=CA^*[/math]. Таким образом докажем, что [math]B^*[/math] компактный . Затем снова используя эту теорему получим, что [math]B[/math] компактный. 1. Докажем, что линейное отображение [math]C: \mathcal{R}(A^*)\rightarrow X^*[/math] [math]C(A^*f)=B^*f[/math] непрерывно. Если нет, то найдется последовательность [math](f_n) \subset Y^*[/math] такая, что [math]||A^*f_n||= 1[/math] и [math]||B^*f_n||\rightarrow \infty \hspace{30mm}(+)[/math] Пусть теперь [math]x\in X[/math]. Так как [math]\mathcal{R}(B) \subset\mathcal{R}(A)[/math], то существует [math]v\in X[/math] такой, что [math]Av=Bx[/math]. Получаем [math]B^*f_n(x)=f_n(Bx)=f_n(Av)=A^*f_n(v)[/math] оттуда [math]||B^*f_n(x)||\leq ||v||<\infty[/math] при любых [math]n\in\mathbb{N}[/math]. По принципу равномерной ограниченности получаем оттуда [math]\sup_{n\in\mathbb{N}}||B^*f_n||<\infty[/math] что противоречит условию (+). Непрерывность [math]C[/math] доказана. 2. По теореме Шаудера [math]A^*[/math] компактный. Так как [math]B^*=CA^*[/math] и [math]C[/math] непрерывный, то [math]B^*[/math] компактный. Снова применяя теорему Шаудера получаем, что [math]B[/math] компактный. Наверное, опять что-то не так. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Не ясно существование оператора [math]C[/math].
Если этот оператор определяется равенством [math]C\left({A^ * f}\right) = B^ * f[/math], то что получается при [math]A^ * f = 0[/math], но [math]B^ * f \ne 0[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: SzaryWilk |
||
SzaryWilk |
|
|
Prokop, спасибо, я должна была сразу это написать: так как [math]\mathcal{R}(B)\subset\mathcal{R}(A)[/math] то [math]\mathcal{N}(A^*)\subset\mathcal{N}(B^*)[/math]
(что можно обосновать тем, что [math]\mathcal{N}(A^*)=\mathcal{R}(A)^{\perp}[/math] или доказать по определению) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: Prokop |
||
Prokop |
|
|
SzaryWilk, спасибо. Вам удалось построить линейный ограниченный оператор [math]C[/math], определённый на [math]\mathcal{R}\left( A^{*}\right)[/math]. По непрерывности его можно продолжить на замыкание этого множества. Нужно ли его продолжать на всё пространство [math]X^{*}[/math]?
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: SzaryWilk |
||
SzaryWilk |
|
|
Думаю, нам это не нужно. В доказательстве того, что [math]T=VS[/math]компактный если [math]S[/math] компактный и [math]V[/math] ограниченный не пользуемся тем, что [math]V[/math] определен на всем пространстве. А Вы не согласны? Возможно, я ошибаюсь.
А остальная часть доказательства верна? Хотелось бы еще построить ограниченный оператор [math]V[/math] такой, что [math]B=VA[/math], чтобы не проходить через сопряженные пространства, но я пока не знаю, как. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |