Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
hurrdurrrderp |
|
|
Вроде понятно, что если [math]u(t)=const[/math], то интеграл будет 0 - выносим её за знак интеграла и получаем разность [math]x(b)-x(a)=0[/math]. Но как это доказать в нужную (другую) сторону, я не понимаю. У это задачи есть вторая часть: доказать, что если [math]v(t), w(t) \in C[a;b][/math] и [math]\forall x \in L \int_a^b [v(t)x(t) + w(t)x'(t)]dt = 0[/math], то [math]w'(t) = v(t)[/math], но я думаю, что сам пойму как её решить, если разберусь с первой частью. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Это стандартное утверждение. Сходу ссылку не могу дать. Поэтому приведу рассуждение (разные недомолвки подчистите сами).
Предположим, что функция [math]u\left( x \right)[/math] не является константой. Тогда найдутся две различные точки, в которых значения функции различны. Например, [math]x_1 ,\;x_2 \in \left[{a,b}\right][/math] и [math]u\left({x_1}\right) < u\left({x_2}\right)[/math]. Далее, т.к. функция [math]u\left( x \right)[/math] непрерывна, найдутся два не пересекающихся промежутка [math]\delta _1[/math] и [math]\delta _2[/math], содержащие соответственно точки [math]x_1 ,\;x_2[/math], и число [math]A[/math], такие что [math]u\left( x \right) < A[/math] при [math]x \in \delta _1[/math] и [math]u\left( x \right) > A[/math] при [math]x \in \delta _2[/math]. Выберем произвольную непрерывную функцию [math]\psi \left( x \right)[/math], равную нулю вне промежутков [math]\delta _1[/math] и [math]\delta _2[/math], пололожительную на [math]\delta _1[/math] и отрицательную на [math]\delta _2[/math], причём [math]\int\limits_a^b{\psi \left( x \right)dx}= 0[/math] После этого определим функцию [math]\phi \left( x \right) = \int\limits_a^x{\psi \left( t \right)dt}\in L[/math] Теперь [math]\begin{gathered}0 = \int\limits_a^b{\phi '\left( x \right)u\left( x \right)dx}= \int\limits_a^b{\psi \left( x \right)\left({u\left( x \right) - A}\right)dx}+A\int \limits_a^b{\psi \left( x \right)dx}= \int\limits_{\delta _1}{\psi \left( x \right)\left({u\left( x \right) - A}\right)dx}+ \hfill \\ + \int\limits_{\delta _2}{\psi \left( x \right)\left({u\left( x \right) - A}\right)dx}< 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math] Так получили противоречие. P.S. Вторая задача - простое следствие первой. |
||
Вернуться к началу | ||
hurrdurrrderp |
|
|
Спасибо, всё действительно было просто.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |