Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что функция константа
СообщениеДобавлено: 25 июн 2013, 19:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2013, 19:34
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть С[a;b] - пространство непрерывных на отрезке функций, и есть его подпространство [math]L = \lbrace x(t) \in C^1[a;b] \wedge x(a)=x(b)=0 \rbrace[/math]. [math]u(t) \in C[a;b][/math]. Нужно доказать, что если [math]\forall x \in L \int_a^b x'(t)u(t)dt = 0[/math], то [math]u(t)=const[/math].
Вроде понятно, что если [math]u(t)=const[/math], то интеграл будет 0 - выносим её за знак интеграла и получаем разность [math]x(b)-x(a)=0[/math]. Но как это доказать в нужную (другую) сторону, я не понимаю.

У это задачи есть вторая часть: доказать, что если [math]v(t), w(t) \in C[a;b][/math] и [math]\forall x \in L \int_a^b [v(t)x(t) + w(t)x'(t)]dt = 0[/math], то [math]w'(t) = v(t)[/math], но я думаю, что сам пойму как её решить, если разберусь с первой частью.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция константа
СообщениеДобавлено: 25 июн 2013, 21:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это стандартное утверждение. Сходу ссылку не могу дать. Поэтому приведу рассуждение (разные недомолвки подчистите сами).
Предположим, что функция [math]u\left( x \right)[/math] не является константой. Тогда найдутся две различные точки, в которых значения функции различны. Например, [math]x_1 ,\;x_2 \in \left[{a,b}\right][/math] и [math]u\left({x_1}\right) < u\left({x_2}\right)[/math]. Далее, т.к. функция [math]u\left( x \right)[/math] непрерывна, найдутся два не пересекающихся промежутка [math]\delta _1[/math] и [math]\delta _2[/math], содержащие соответственно точки [math]x_1 ,\;x_2[/math], и число [math]A[/math], такие что [math]u\left( x \right) < A[/math] при [math]x \in \delta _1[/math] и [math]u\left( x \right) > A[/math] при [math]x \in \delta _2[/math].
Выберем произвольную непрерывную функцию [math]\psi \left( x \right)[/math], равную нулю вне промежутков [math]\delta _1[/math] и [math]\delta _2[/math], пололожительную на [math]\delta _1[/math] и отрицательную на [math]\delta _2[/math], причём
[math]\int\limits_a^b{\psi \left( x \right)dx}= 0[/math]
После этого определим функцию
[math]\phi \left( x \right) = \int\limits_a^x{\psi \left( t \right)dt}\in L[/math]
Теперь
[math]\begin{gathered}0 = \int\limits_a^b{\phi '\left( x \right)u\left( x \right)dx}= \int\limits_a^b{\psi \left( x \right)\left({u\left( x \right) - A}\right)dx}+A\int \limits_a^b{\psi \left( x \right)dx}= \int\limits_{\delta _1}{\psi \left( x \right)\left({u\left( x \right) - A}\right)dx}+ \hfill \\ + \int\limits_{\delta _2}{\psi \left( x \right)\left({u\left( x \right) - A}\right)dx}< 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Так получили противоречие.

P.S. Вторая задача - простое следствие первой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция константа
СообщениеДобавлено: 25 июн 2013, 22:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2013, 19:34
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, всё действительно было просто.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Константа, бесконечность или нуль?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

BezdnaIrina

10

735

08 фев 2015, 01:05

Хитрая константа: можно ли умножать?

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

DeusEx

3

480

28 мар 2015, 18:01

Доказать, что функция инъективная

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

spi2207

6

414

23 ноя 2021, 23:57

Доказать что функция интегрируема

в форуме Интегральное исчисление

Val193

5

409

29 дек 2017, 21:00

Доказать что функция мультипликативна

в форуме Теория чисел

Ibrokhim25Z2B5DI47

12

576

30 авг 2020, 20:50

Доказать что функция чётная

в форуме Алгебра

kempeributAmd

3

240

07 окт 2019, 19:15

Доказать, что функция f(x) непрерывна в точке x0

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ilya_dobr

3

352

29 фев 2020, 11:51

Доказать, что функция не является многочленом

в форуме Алгебра

Andy

4

1077

22 ноя 2017, 20:20

Доказать что функция является метрикой

в форуме Численные методы

jonygibson

2

2415

16 апр 2014, 16:46

Доказать,что функция удовлетворяет соотношению

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

3

755

16 апр 2015, 21:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved