Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 26 май 2013, 16:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 май 2013, 16:17
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В постранстве [math]C[0,1][/math] задан функц-л [math]f(x) = \int\limits_{0}^{1}x(t^2)dt - x(1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math] найти его норму

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 26 май 2013, 22:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\|x\|=\max_{t\in[0;1]}|x(t)|=\max_{t\in[0;1]}\left|x\left(t^2\right)\right|[/math] - проверьте. Тогда

[math]\|f(x)\|=\left|\int\limits_0^1x\left(t^2\right)\,dt-x\left(\frac12\right)\right|\leqslant\max_{t\in[0;1]}\left|x\left(t^2\right)\right|\cdot\int\limits_0^1\,dt+\left|x\left(\frac12\right)\right|\leqslant2\|x\|[/math]

откуда

[math]\|f\|\leqslant2[/math]

Рассмотрим теперь последовательность функций [math]x_n(t)[/math] таких, что функции [math]x_n\left(t^2\right)[/math] представляют собой ломаные

[math](0,1)\to\left(\frac1{\sqrt2}-\frac1{2^{n+1}},1\right)\to\left(\frac1{\sqrt2},-1\right)\to\left(\frac1{\sqrt2}+\frac1{2^{n+1}},1\right)\to(1,1)[/math]

Функции [math]x_n(t)[/math] непрерывны на [math][0;1][/math] как композиции непрерывных функций [math]\sqrt t[/math] и [math]x_n\left(t^2\right)[/math], причём

[math]\|x_n(t)\|=1[/math]

[math]x_n\left(\frac12\right)=-1[/math]

[math]\int\limits_0^1x_n\left(t^2\right)\,dt=1-\frac1{2^n}[/math] (посмотрите по площадям под ломаными)

то есть

[math]\|f\|\geqslant\frac{\|f(x_n)\|}{\|x_n\|}\to2[/math]

Значит [math]\|f\|=2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Mesmer1zeR

1

575

27 апр 2020, 21:20

Найти Норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Pahlava

3

754

16 янв 2020, 16:53

Найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Zqquiet

7

383

14 дек 2022, 12:45

Найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

cherepashka3

1

2135

25 янв 2019, 20:55

Найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shtormik02

1

1224

21 апр 2015, 20:32

Найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dk94

1

1497

11 янв 2019, 08:00

Найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Orazgul

1

836

24 апр 2020, 09:34

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ilk18

1

407

25 апр 2020, 17:48

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

viridesoul

1

1420

28 май 2017, 13:57

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

supin

2

922

10 ноя 2017, 18:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved