Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 26 май 2013, 17:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 май 2013, 17:17
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В постранстве [math]C[0,1][/math] задан функц-л [math]f(x) = \int\limits_{0}^{1}x(t^2)dt - x(1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2)[/math] найти его норму

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 26 май 2013, 23:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3994
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1776 раз в 1480 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\|x\|=\max_{t\in[0;1]}|x(t)|=\max_{t\in[0;1]}\left|x\left(t^2\right)\right|[/math] - проверьте. Тогда

[math]\|f(x)\|=\left|\int\limits_0^1x\left(t^2\right)\,dt-x\left(\frac12\right)\right|\leqslant\max_{t\in[0;1]}\left|x\left(t^2\right)\right|\cdot\int\limits_0^1\,dt+\left|x\left(\frac12\right)\right|\leqslant2\|x\|[/math]

откуда

[math]\|f\|\leqslant2[/math]

Рассмотрим теперь последовательность функций [math]x_n(t)[/math] таких, что функции [math]x_n\left(t^2\right)[/math] представляют собой ломаные

[math](0,1)\to\left(\frac1{\sqrt2}-\frac1{2^{n+1}},1\right)\to\left(\frac1{\sqrt2},-1\right)\to\left(\frac1{\sqrt2}+\frac1{2^{n+1}},1\right)\to(1,1)[/math]

Функции [math]x_n(t)[/math] непрерывны на [math][0;1][/math] как композиции непрерывных функций [math]\sqrt t[/math] и [math]x_n\left(t^2\right)[/math], причём

[math]\|x_n(t)\|=1[/math]

[math]x_n\left(\frac12\right)=-1[/math]

[math]\int\limits_0^1x_n\left(t^2\right)\,dt=1-\frac1{2^n}[/math] (посмотрите по площадям под ломаными)

то есть

[math]\|f\|\geqslant\frac{\|f(x_n)\|}{\|x_n\|}\to2[/math]

Значит [math]\|f\|=2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shtormik02

1

397

21 апр 2015, 21:32

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

viridesoul

1

113

28 май 2017, 14:57

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

supin

2

42

10 ноя 2017, 19:18

Доказать непрерывность и найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

mugler02

29

1784

28 апр 2014, 11:20

Вычислить норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

rus565

10

1381

15 июн 2014, 20:47

Найти норму A

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

1azar1

2

124

20 янв 2017, 18:22

Найти норму U

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

germ9c

3

239

28 дек 2014, 14:42

Найти норму

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Liola

2

504

29 июн 2014, 01:27

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shtormik02

2

288

21 апр 2015, 21:29

Найти норму оператора в L2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

denis_fpmi

1

531

30 май 2014, 14:18


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved