Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
maksON |
|
||
...буду очень признателен в их решении 1.) Нахождение сопряженных операторов в гильбертовых пространствах. Опертатор [math]A \in \mathcal \alpha (l_2)[/math] задан формулой [math]Ax=\left(2x_2 - x_3, 2x_3 - x_4, \frac{x_3}{3},\frac{x_4}{4},\ldots, \frac{x_k}{k},\ldots\right)[/math]. Найти [math]A^*[/math]. 2.) Продолжение линейного непрерывного функционала с одномерного подпространства в двумерном нормированном пространстве с сохранением нормы. Пусть [math]{X=\langle\mathbb{R}^2,\|(x,y)\|=2|x|+3|y|\rangle,~L=\{(0,2x),x\in\mathbb{R}\},~\varphi_0 \in L^* \colon \varphi_0(0,2x)=-2x}[/math]. Продолжить [math]\varphi_0[/math] на [math]X[/math] с сохранением нормы. |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
1. Оператор А - ограниченный линейный оператор в [math]l_2[/math], сопряжённый оператор [math]A^*[/math] определяется как оператор, удовлетворяющий тождеству для всех элементов [math]x,y \in l_2[/math]
[math](Ax,y)=(x,A^*y)[/math] или [math]\begin{gathered}(2x_2-x_3)y_1+(2x_3-x_4)y_2+\frac{x_3}{3}y_3+\frac{x_4}{4}y_4+\sum\limits_{k=5}^\infty\frac{x_k}{k}y_k=\hfill\\=0 x_1 y_1+x_2\cdot 2y_1+x_3(-y_1+2y_2)+x_4\!\left(-y_2+\frac{y_4}{4}\right)+\sum\limits_{k=5}^\infty{x_k\frac{y_k}{k}\hfill\\\end{gathered}[/math] Поэтому [math]A^*y=\left(0,2y_1,-y_1+2y_2,-y_2+\frac{y_4}{4},\frac{y_5}{5},\frac{y_6}{6},\ldots\right)[/math] 2. Чтобы не запутаться, изменим обозначения (есть подозрение, что в условии задачи опечатка) [math]L=\{(0,y) \mid y \in\mathbb{R}\}[/math] Тогда [math]\phi_0(0,y)=-y[/math] и [math]\|\phi_0(0,y)\|=|y|\leqslant\frac{1}{3}\|(0,y)\|[/math] Следовательно, норма функционала равна 1/3. Положим значение продолженного функционала [math]\phi[/math] на векторе (1.0) равно [math]\alpha[/math]. Тогда [math]\phi(x,y)=\alpha x-y[/math] Продолжение с сохранением нормы диктует неравенство [math]|\alpha x-y|\leqslant\frac{1}{3}\|(x,y)\|=\frac{1}{3}(2|x|+3|y|)[/math], которое будет выполнено, если [math]|\alpha|\leqslant\frac{2}{3}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: maksON |
|||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сопряженные числа
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
7 |
461 |
08 ноя 2017, 11:18 |
|
Сопряженные пространства
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
240 |
03 май 2019, 02:07 |
|
Комплексно-сопряженные числа
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
4 |
236 |
02 июн 2019, 08:35 |
|
Комплексно сопряженные числа
в форуме Специальные разделы |
5 |
740 |
31 авг 2014, 21:20 |
|
Сопряженные элементы группы
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
391 |
10 апр 2014, 21:26 |
|
Сопряженные элементы конечного поля
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
431 |
01 мар 2016, 19:26 |
|
Дифф геом. Сопряженные направления
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
7 |
652 |
01 апр 2014, 21:30 |
|
Аналитическое продолжение | 4 |
335 |
24 апр 2018, 00:48 |
|
Тройки Пифагора продолжение
в форуме Размышления по поводу и без |
13 |
618 |
14 мар 2020, 11:36 |
|
Временное продолжение темы
в форуме Объявления участников Форума |
7 |
404 |
25 апр 2018, 19:31 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |