Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сопряженные операторы и продолжение функционала
СообщениеДобавлено: 08 дек 2010, 14:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2010, 12:41
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
эти задания вообще непонятны :cry:
...буду очень признателен в их решении

1.) Нахождение сопряженных операторов в гильбертовых пространствах.

Опертатор [math]A \in \mathcal \alpha (l_2)[/math] задан формулой [math]Ax=\left(2x_2 - x_3, 2x_3 - x_4, \frac{x_3}{3},\frac{x_4}{4},\ldots, \frac{x_k}{k},\ldots\right)[/math].
Найти [math]A^*[/math].

2.) Продолжение линейного непрерывного функционала с одномерного подпространства в двумерном нормированном пространстве с сохранением нормы.

Пусть [math]{X=\langle\mathbb{R}^2,\|(x,y)\|=2|x|+3|y|\rangle,~L=\{(0,2x),x\in\mathbb{R}\},~\varphi_0 \in L^* \colon \varphi_0(0,2x)=-2x}[/math].

Продолжить [math]\varphi_0[/math] на [math]X[/math] с сохранением нормы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряженные операторы и продолжение функционала
СообщениеДобавлено: 09 дек 2010, 10:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Оператор А - ограниченный линейный оператор в [math]l_2[/math], сопряжённый оператор [math]A^*[/math] определяется как оператор, удовлетворяющий тождеству для всех элементов [math]x,y \in l_2[/math]

[math](Ax,y)=(x,A^*y)[/math] или

[math]\begin{gathered}(2x_2-x_3)y_1+(2x_3-x_4)y_2+\frac{x_3}{3}y_3+\frac{x_4}{4}y_4+\sum\limits_{k=5}^\infty\frac{x_k}{k}y_k=\hfill\\=0 x_1 y_1+x_2\cdot 2y_1+x_3(-y_1+2y_2)+x_4\!\left(-y_2+\frac{y_4}{4}\right)+\sum\limits_{k=5}^\infty{x_k\frac{y_k}{k}\hfill\\\end{gathered}[/math]

Поэтому [math]A^*y=\left(0,2y_1,-y_1+2y_2,-y_2+\frac{y_4}{4},\frac{y_5}{5},\frac{y_6}{6},\ldots\right)[/math]

2. Чтобы не запутаться, изменим обозначения (есть подозрение, что в условии задачи опечатка)

[math]L=\{(0,y) \mid y \in\mathbb{R}\}[/math]

Тогда [math]\phi_0(0,y)=-y[/math] и [math]\|\phi_0(0,y)\|=|y|\leqslant\frac{1}{3}\|(0,y)\|[/math]

Следовательно, норма функционала равна 1/3.
Положим значение продолженного функционала [math]\phi[/math] на векторе (1.0) равно [math]\alpha[/math]. Тогда [math]\phi(x,y)=\alpha x-y[/math]

Продолжение с сохранением нормы диктует неравенство

[math]|\alpha x-y|\leqslant\frac{1}{3}\|(x,y)\|=\frac{1}{3}(2|x|+3|y|)[/math], которое будет выполнено, если [math]|\alpha|\leqslant\frac{2}{3}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
maksON
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сопряженные числа

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

maksim-maksim

7

461

08 ноя 2017, 11:18

Сопряженные пространства

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

DanyaRRRR

3

240

03 май 2019, 02:07

Комплексно-сопряженные числа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Nufus

4

236

02 июн 2019, 08:35

Комплексно сопряженные числа

в форуме Специальные разделы

ego30

5

740

31 авг 2014, 21:20

Сопряженные элементы группы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

[dominika]

1

391

10 апр 2014, 21:26

Сопряженные элементы конечного поля

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Analitik

1

431

01 мар 2016, 19:26

Дифф геом. Сопряженные направления

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

i_am_hope

7

652

01 апр 2014, 21:30

Аналитическое продолжение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

nickspa

4

335

24 апр 2018, 00:48

Тройки Пифагора продолжение

в форуме Размышления по поводу и без

ammo77

13

618

14 мар 2020, 11:36

Временное продолжение темы

в форуме Объявления участников Форума

Andy

7

404

25 апр 2018, 19:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved