Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти норму оператора и проверить достижимость оператора
СообщениеДобавлено: 05 дек 2010, 20:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2010, 12:41
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Найти норму оператора [math]~A \colon l^2 \to l^2[/math] для

[math]~A(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\ldots,\mathcal{E}_n,\ldots)=\left(\sqrt{\mathcal{E}_1^2+\mathcal{E}_2^2},\sqrt{\mathcal{E}_2^2+\mathcal{E}_3^2}},\ldots,\sqrt{\mathcal{E}_n^2+\mathcal{E}_{n+1}^2},\ldots\right)[/math],

а также проверить достижимость оператора.

2. Найти норму линейного оператора [math]A \colon l^1 \to l^2[/math]

[math]A(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\ldots,\mathcal{E}_n, \ldots)=(\mathcal{E}_1,2\mathcal{E}_2,\mathcal{E}_3,2\mathcal{E}_4,\ldots,\mathcal{E}_{2n-1},2\mathcal{E}_{2n},\ldots)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти норму оператора и проверить достижимость оператора
СообщениеДобавлено: 05 дек 2010, 22:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вместо красивых букв e буду писать иксы.

1) Из неравенства

[math]\|Ax\|^2=x_1^2+ 2\sum\limits_{k=0}^\infty{x_k^2}\leqslant2\|x\|^2[/math]

следует, что норма оператора равна [math]\sqrt2[/math]. Причем эта норма достижима.

2) Для элементов [math]x[/math] пространства [math]l_1[/math] справедливо неравенство

[math]\sum\limits_{k=1}^\infty{x_k^2}\leqslant\max|x_k|\sum\limits_{k=1}^\infty{x_k}[/math]

Поэтому единичный шар из[math]l_1[/math] вкладывается в единичный шар пространства [math]l_2[/math].

Тогда для элементов единичного шара из [math]l_1[/math] справедливо неравенство

[math]\|Ax\|^2=\sum\limits_{k=0}^\infty{x_{2k+1}^2}+4\sum\limits_{k=0}^\infty{x_{2k}^2}\leqslant4\sum\limits_{k=0}^\infty{x_k^2}\leqslant4[/math]

Поэтому норма равна 2. Равенство достигается, например, на элементе [math](0,1,0,0,\ldots)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
maksON
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Проверить достижимость нормы и найти норму линейногоператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Olegus

0

520

26 май 2019, 16:57

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Venerar

6

483

09 янв 2018, 15:38

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shtormik02

2

687

21 апр 2015, 20:29

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

denis_fpmi

3

848

26 май 2014, 20:16

Найти норму оператора в L2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

denis_fpmi

1

1007

30 май 2014, 13:18

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Tanya2015

3

919

22 янв 2015, 20:35

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

dair

7

1361

08 июн 2014, 13:06

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Kulich

0

315

26 май 2019, 12:43

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

light2403

2

1334

26 мар 2019, 16:28

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

mercu

0

413

05 фев 2020, 20:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved