Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Free Dreamer |
|
|
Не получается решить следующую задачу: Вложение: Определение ограниченного функционала у нас было такое: линейный функционал, действующий из линейного нормированного пространства [math]L[/math] в [math]\mathbb{R}[/math] называется ограниченным, если [math]\exists C>0 \,\colon \forall x\inL \left| f(x) \right| \leqslant C\left\| x \right\|[/math] Как решать по определению, т.е. как подобрать константу С я совсем не представляю. Может быть, подскажете что-нибудь? Заранее спасибо. P.S. А может попробовать доказать непрерывность? Так как для линейного функционала непрерывность и ограниченность эквивалентны, то... Но как? Вот, например, первый номер: Зафиксируем [math]\varepsilon >0[/math]. И выберем две произвольные функции [math]x_1,x_2\in C_{[0,1]}[/math]. Тогда [math]\begin{aligned}\left| f(x_1) - f(x_2) \right| = \left| f(x_1 - x_2) \right| &= \left| \int\limits_{0}^{1} \left( x_1 - x_2 \right)(\sqrt{t}) dt \right| \leqslant \int\limits_{0}^{1} \left| \left( x_1 - x_2 \right)(\sqrt{t}) \right| dt \leqslant \int\limits_{0}^{1} \max_{0 \leqslant t \leqslant 1} \left| \left( x_1 - x_2 \right)(\sqrt{t}) \right| dt =\\ &= \max_{0 \leqslant t \leqslant 1} \left| \left( x_1 - x_2 \right)(\sqrt{t})\right| = \max_{0 \leqslant t \leqslant 1} \left| \left( x_1 - x_2 \right)(t) \right| = \left\| x_1 - x_2 \right\|\end{aligned}[/math] И значит, [math]\forall \varepsilon > 0 ~~ \exists \delta( \varepsilon ) = \varepsilon \,\colon[/math] как только [math]\left\| x_1 - x_2 \right\| < \delta[/math], справедливо неравенство [math]\left| f(x_1) - f(x_2) \right| < \varepsilon[/math] Меня очень смущает, что аргумент функции х - результат применения другой функции. Судя по выше приведённой цепочке, мы можем взять любую непрерывную функцию, действующую из [math][0,1][/math] в [math][0,1][/math] и рассуждения не изменятся? |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Вот как доказали непрерывность, точно так же доказывается ограниченность. Константа при этом будет [math]C=1[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
Free Dreamer |
|
|
Спасибо.
|
||
Вернуться к началу | ||
Free Dreamer |
|
|
А третья задача. Не могли бы Вы проверить правильность решения. Может, какие-то выкладки вообще не нужны или наоборот не указаны (может, оно вообще всё неправильно, хотя я надеюсь на лучшее):
Пусть [math]x\in C_{[0,1]}[/math]. Тогда [math]\forall n x(t^n) \in C_{[0,1]}[/math] как композиция непрерывных функций и, значит, [math]\forall n x(t^n) \in C_{[0,1]}[/math] ограничена как непрерывная на сегменте. В силу непрерывности функции [math]x[/math], имеем: [math]t\in [0,1) \,\colon \lim_{n \to \infty} x(t^n) = x(\lim_{n \to \infty} t^n ) = x(0)[/math] [math]t = 1 \,\colon \lim_{n \to \infty} x(t^n) = x(\lim_{n \to \infty} t^n ) = x(1)[/math] т.е. мы нашли поточечный предел функциональной последовательности [math]{x(t^n)}[/math]: [math]x_0(t) = \left\{\!\begin{aligned} x(0), t\in [0,1] \\ x(1), t=1 \end{aligned}\right.[/math] По теореме Лебега (в том виде, в каком её нам давали), если задана последовательность ограниченных в совокупности и измеримых функций, сходящаяся по мере (у нас сходимость поточечная, значит, и по мере тоже) к ограниченной функции, то можно выносить предельный переход за знак интеграла: [math]\lim_{n \to \infty} \int\limits_{0}^{1}x(t^n)dt = \int\limits_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} x(t^n)dt = \int\limits_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} x_0(t) dt = x(0) \leqslant \max_{0 \leqslant t \leqslant 1}\left| x(t) \right| = \left\| x \right\|[/math] И, значит, функционал ограничен, причём [math]\left\| f \right\| \leqslant 1[/math] А поскольку существует непрерывная на отрезке [math][0,1][/math] функция [math]x \equiv 1[/math], такая, что [math]f(x) = \lim_{n \to \infty} \int\limits_{0}^{1}dt = 1[/math], то [math]\left\| f \right\| = 1[/math] Пожалуйста, подскажите, что неправильно. И нужно ли вообще ссылаться на теорему Лебега. Может, всё гораздо проще и очевиднее? |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |