Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Ограниченность линейного функционала
СообщениеДобавлено: 24 фев 2013, 03:34 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Не получается решить следующую задачу:
Вложение:
pic.png
pic.png [ 23.85 Кб | Просмотров: 73 ]


Определение ограниченного функционала у нас было такое: линейный функционал, действующий из линейного нормированного пространства [math]L[/math] в [math]\mathbb{R}[/math] называется ограниченным, если
[math]\exists C>0 \,\colon \forall x\inL \left| f(x) \right| \leqslant C\left\| x \right\|[/math]

Как решать по определению, т.е. как подобрать константу С я совсем не представляю. Может быть, подскажете что-нибудь?
Заранее спасибо.

P.S.
А может попробовать доказать непрерывность? Так как для линейного функционала непрерывность и ограниченность эквивалентны, то...
Но как?
Вот, например, первый номер:
Зафиксируем [math]\varepsilon >0[/math]. И выберем две произвольные функции [math]x_1,x_2\in C_{[0,1]}[/math].
Тогда
[math]\begin{aligned}\left| f(x_1) - f(x_2) \right| = \left| f(x_1 - x_2) \right| &= \left| \int\limits_{0}^{1} \left( x_1 - x_2 \right)(\sqrt{t}) dt \right| \leqslant \int\limits_{0}^{1} \left| \left( x_1 - x_2 \right)(\sqrt{t}) \right| dt \leqslant \int\limits_{0}^{1} \max_{0 \leqslant t \leqslant 1} \left| \left( x_1 - x_2 \right)(\sqrt{t}) \right| dt =\\ &= \max_{0 \leqslant t \leqslant 1} \left| \left( x_1 - x_2 \right)(\sqrt{t})\right| = \max_{0 \leqslant t \leqslant 1} \left| \left( x_1 - x_2 \right)(t) \right| = \left\| x_1 - x_2 \right\|\end{aligned}[/math]

И значит, [math]\forall \varepsilon > 0 ~~ \exists \delta( \varepsilon ) = \varepsilon \,\colon[/math] как только [math]\left\| x_1 - x_2 \right\| < \delta[/math], справедливо неравенство [math]\left| f(x_1) - f(x_2) \right| < \varepsilon[/math]

Меня очень смущает, что аргумент функции х - результат применения другой функции. Судя по выше приведённой цепочке, мы можем взять любую непрерывную функцию, действующую из [math][0,1][/math] в [math][0,1][/math] и рассуждения не изменятся?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ограниченность линейного функционала
СообщениеДобавлено: 24 фев 2013, 14:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот как доказали непрерывность, точно так же доказывается ограниченность. Константа при этом будет [math]C=1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ограниченность линейного функционала
СообщениеДобавлено: 24 фев 2013, 17:15 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ограниченность линейного функционала
СообщениеДобавлено: 24 фев 2013, 19:17 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А третья задача. Не могли бы Вы проверить правильность решения. Может, какие-то выкладки вообще не нужны или наоборот не указаны (может, оно вообще всё неправильно, хотя я надеюсь на лучшее):
Пусть [math]x\in C_{[0,1]}[/math]. Тогда [math]\forall n x(t^n) \in C_{[0,1]}[/math] как композиция непрерывных функций и, значит, [math]\forall n x(t^n) \in C_{[0,1]}[/math] ограничена как непрерывная на сегменте.
В силу непрерывности функции [math]x[/math], имеем:
[math]t\in [0,1) \,\colon \lim_{n \to \infty} x(t^n) = x(\lim_{n \to \infty} t^n ) = x(0)[/math]

[math]t = 1 \,\colon \lim_{n \to \infty} x(t^n) = x(\lim_{n \to \infty} t^n ) = x(1)[/math]

т.е. мы нашли поточечный предел функциональной последовательности [math]{x(t^n)}[/math]:
[math]x_0(t) = \left\{\!\begin{aligned} x(0), t\in [0,1] \\ x(1), t=1 \end{aligned}\right.[/math]

По теореме Лебега (в том виде, в каком её нам давали), если задана последовательность ограниченных в совокупности и измеримых функций, сходящаяся по мере (у нас сходимость поточечная, значит, и по мере тоже) к ограниченной функции, то можно выносить предельный переход за знак интеграла:
[math]\lim_{n \to \infty} \int\limits_{0}^{1}x(t^n)dt = \int\limits_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} x(t^n)dt = \int\limits_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} x_0(t) dt = x(0) \leqslant \max_{0 \leqslant t \leqslant 1}\left| x(t) \right| = \left\| x \right\|[/math]
И, значит, функционал ограничен, причём [math]\left\| f \right\| \leqslant 1[/math]
А поскольку существует непрерывная на отрезке [math][0,1][/math] функция [math]x \equiv 1[/math], такая, что [math]f(x) = \lim_{n \to \infty} \int\limits_{0}^{1}dt = 1[/math], то [math]\left\| f \right\| = 1[/math]

Пожалуйста, подскажите, что неправильно.
И нужно ли вообще ссылаться на теорему Лебега. Может, всё гораздо проще и очевиднее?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Норма линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

karenmil

1

439

21 апр 2021, 11:46

Норма линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

veronica

0

641

13 июн 2015, 18:42

Норма линейного функционала

в форуме Численные методы

veronica

0

466

13 июн 2015, 18:59

Норма не линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

neurocore

5

615

13 дек 2016, 16:32

Непрерывность линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

nerviwki

1

627

11 авг 2015, 16:03

Норма линейного функционала

в форуме Численные методы

veronica

0

415

13 июн 2015, 19:51

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ilk18

1

407

25 апр 2020, 17:48

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

tukY26

1

493

09 апр 2020, 17:10

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

viridesoul

1

1420

28 май 2017, 13:57

Путаница с ядром линейного функционала

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Stealer

2

191

27 июл 2021, 20:28


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved