Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
vestvud |
|
||
Помогите пожалуйста. Это задания для допуска к зачету, часть которых я уже решила, а вот с этими возникли трудности. В частности: 4) сопряженный оператор находится по формуле (Ax,y)=(x,A*y)? 5) Самосопряжен и компактен ли следующий оператор? И если да, то спектр это собственные числа?
|
|||
Вернуться к началу | |||
Human |
|
|
3. [math]\left\|l(x)\right\|=\left|\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n2^{-n}x(2^{-n})\right|\leqslant\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}|x(2^{-n})|\leqslant\max_{[0,1]}|x(t)|\cdot\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=\left\|x(t)\right\|[/math]
Значит [math]\|l\|\leqslant1[/math]. С другой стороны рассмотрим последовательность функций [math]x_k(t)=\left\{\begin{aligned}0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &,\ 0\leqslant t<2^{-k-\frac12}\\\sin\left(\frac{\pi}2-\pi\log_2x\right)&,\ 2^{-k-\frac12}\leqslant t\leqslant1\end{aligned}\right.[/math] Они непрерывны, причём [math]\|x_k(t)\|=1[/math] и [math]x_k(2^{-n})=\left\{\begin{aligned}(-1)^n&,\ n\leqslant k\\0\ \ \ &,\ n>k\end{aligned}\right.[/math] Значит [math]\|l(x_k)\|=\sum_{n=1}^k2^{-n}=1-\frac1{2^k}\to1[/math] при [math]k\to\infty[/math]. Поэтому [math]\|l\|=1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: mad_math, vestvud |
||
Human |
|
|
В определении функций [math]x_k(t)[/math] надо поменять [math]x[/math] под логарифмом на [math]t[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
vestvud |
|
|
Очень Вам признательна!
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
4. Здесь одномерный самосопряжённый оператор. Его спектр состоит из двух точек: [math]\left\{{0,\;\frac{1}{5}}\right\}[/math]
5. Здесь ограниченный оператор, спектр которого совпадает с замкнутым отрезком [math]\left[{- 1,\;0}\right][/math], т.к. в этих точках резольвента оператора не ограниченна. 6. Положим [math]f\left( x \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{0,\;x < 0}\\{- \sin x,\;x \geqslant 0}\\ \end{array}}\right.[/math] Тогда, согласно определению производной, получим [math]F''\left( x \right) = f\left( x \right) + \delta \left( x \right) + \delta '\left( x \right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math, vestvud |
||
vestvud |
|
|
Большое спасибо!!
Пожалуйста, объясните подробнее, почему в четвертой задаче спектр самосопряженного оператора состоит из двух точек? И почему в пятой задаче спектр ограничен? |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
vestvud писал(а): почему в четвертой задаче спектр самосопряженного оператора состоит из двух точек? Спектр конечномерного оператора всегда есть множество его собственных чисел. В данном случае оператор действует из бесконечномерного пространства, поэтому он явно необратим, значит нуль есть точка спектра. Другая точка получилась при поиске нетривиального решения уравнения [math]\left(\int_0^1s^2x(s)\,ds\right)t^2=\lambda x(t)[/math]. Поскольку интеграл в левой части есть некоторая константа, то при [math]\lambda\ne0[/math] нетривиальное решение может лишь иметь вид [math]x(t)=Ct^2,\ C\ne0[/math]. Тогда после подстановки этого решения и [math]t=1[/math] получаем [math]\lambda=\int_0^1s^4\,ds=\frac15[/math]. Хотя в этой задаче Вас же не просят найти спектр. vestvud писал(а): И почему в пятой задаче спектр ограничен? Спектр есть компакт в [math]\mathbb{R}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: mad_math |
||
escaton |
|
|
Prokop
А не могли бы вы рассказать как решается 4 задача, так как у меня очень похожая. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
escaton, Вы имеете в виду нахождение сопряжённого оператора?
Выше я сделал лишнее, хотя трудно было понять, что было нужно ТС. Вообще, для своих вопросов надо создавать свою тему, иначе могут не заметить. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |