Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 11 фев 2013, 13:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 май 2012, 21:24
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток!

Помогите пожалуйста. Это задания для допуска к зачету, часть которых я уже решила, а вот с этими возникли трудности. В частности:
4) сопряженный оператор находится по формуле (Ax,y)=(x,A*y)?
5) Самосопряжен и компактен ли следующий оператор? И если да, то спектр это собственные числа?

Вложения:
.jpg
.jpg [ 79.95 Кб | Просмотров: 57 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 11 фев 2013, 15:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3. [math]\left\|l(x)\right\|=\left|\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n2^{-n}x(2^{-n})\right|\leqslant\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}|x(2^{-n})|\leqslant\max_{[0,1]}|x(t)|\cdot\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=\left\|x(t)\right\|[/math]

Значит [math]\|l\|\leqslant1[/math]. С другой стороны рассмотрим последовательность функций

[math]x_k(t)=\left\{\begin{aligned}0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &,\ 0\leqslant t<2^{-k-\frac12}\\\sin\left(\frac{\pi}2-\pi\log_2x\right)&,\ 2^{-k-\frac12}\leqslant t\leqslant1\end{aligned}\right.[/math]

Они непрерывны, причём [math]\|x_k(t)\|=1[/math] и

[math]x_k(2^{-n})=\left\{\begin{aligned}(-1)^n&,\ n\leqslant k\\0\ \ \ &,\ n>k\end{aligned}\right.[/math]

Значит [math]\|l(x_k)\|=\sum_{n=1}^k2^{-n}=1-\frac1{2^k}\to1[/math] при [math]k\to\infty[/math].

Поэтому [math]\|l\|=1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math, vestvud
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 11 фев 2013, 16:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В определении функций [math]x_k(t)[/math] надо поменять [math]x[/math] под логарифмом на [math]t[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 11 фев 2013, 21:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 май 2012, 21:24
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень Вам признательна!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 11 фев 2013, 23:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
4. Здесь одномерный самосопряжённый оператор. Его спектр состоит из двух точек: [math]\left\{{0,\;\frac{1}{5}}\right\}[/math]

5. Здесь ограниченный оператор, спектр которого совпадает с замкнутым отрезком [math]\left[{- 1,\;0}\right][/math], т.к. в этих точках резольвента оператора не ограниченна.

6. Положим
[math]f\left( x \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{0,\;x < 0}\\{- \sin x,\;x \geqslant 0}\\ \end{array}}\right.[/math]
Тогда, согласно определению производной, получим
[math]F''\left( x \right) = f\left( x \right) + \delta \left( x \right) + \delta '\left( x \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math, vestvud
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 12 фев 2013, 18:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 май 2012, 21:24
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо!!

Пожалуйста, объясните подробнее, почему в четвертой задаче спектр самосопряженного оператора состоит из двух точек? И почему в пятой задаче спектр ограничен?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 13 фев 2013, 04:22 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vestvud писал(а):
почему в четвертой задаче спектр самосопряженного оператора состоит из двух точек?


Спектр конечномерного оператора всегда есть множество его собственных чисел. В данном случае оператор действует из бесконечномерного пространства, поэтому он явно необратим, значит нуль есть точка спектра. Другая точка получилась при поиске нетривиального решения уравнения [math]\left(\int_0^1s^2x(s)\,ds\right)t^2=\lambda x(t)[/math]. Поскольку интеграл в левой части есть некоторая константа, то при [math]\lambda\ne0[/math] нетривиальное решение может лишь иметь вид [math]x(t)=Ct^2,\ C\ne0[/math]. Тогда после подстановки этого решения и [math]t=1[/math] получаем [math]\lambda=\int_0^1s^4\,ds=\frac15[/math].

Хотя в этой задаче Вас же не просят найти спектр.

vestvud писал(а):
И почему в пятой задаче спектр ограничен?


Спектр есть компакт в [math]\mathbb{R}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 15:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 дек 2012, 13:50
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
А не могли бы вы рассказать как решается 4 задача, так как у меня очень похожая.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 15:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
escaton, Вы имеете в виду нахождение сопряжённого оператора?
Выше я сделал лишнее, хотя трудно было понять, что было нужно ТС.
Вообще, для своих вопросов надо создавать свою тему, иначе могут не заметить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

TanyaGromik

3

488

24 дек 2013, 21:47

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

frozx

10

1233

30 ноя 2012, 11:16

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Scofield

2

598

15 дек 2012, 21:12

Задачи по Функциональному анализу

в форуме Объявления участников Форума

Shikamaru

1

470

27 янв 2013, 21:18

Задачи по функциональному анализу. Часть 2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

frozx

5

625

04 янв 2013, 16:31

Задача по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vasyabogomol

1

143

01 апр 2017, 15:48

Задания по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

seregaponarin

20

1829

16 сен 2013, 14:48

Семестровая по функциональному анализу.

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alyona000

0

305

27 май 2014, 01:37

Задача по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Ilya96

20

232

16 окт 2017, 14:11

Задачки по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

nvp

1

531

17 май 2014, 15:44


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved