Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
integral2009 |
|
|
T2 В топологическом пространстве любых две различные точки имеют непересекающиеся открытые окрестности. T3 В топологическом пространстве каждая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся открытые окрестности. T4 В топологическом пространстве каждые два непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся открытые окрестности. Вопрос в том -- как проверить аксиомы T4 и Т3 для дискретной топологии и для топологии стрелки ( [math]X=[0;+\infty)[/math], а открытые подмножества имеют вид [math](a;+\infty)[/math], [math]a>0[/math])? Как проверить для метрической топологии на плоскости Т1 и Т2 (Т3 и Т4 уж сам попробую, если подскажите -- какие окрестности у замкнутых множеств будут?) Какие брать окрестности замкнутых множеств, подскажите, пожалуйста! |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Для дискретной топологии аксиомы выполнены, т.к. там любое множество является открытым и замкнутым одновременно.
Для топологии стрелки Т3 и Т4 не выполнены. В этой топологии любое замкнутое множество имеет вид [math]\left[{0,a}\right][/math], и любая окрестность такого множества совпадает со всем пространством. В случае метрической топологии на плоскости рассмотрите открытые шары с центрами в, интересующих Вас, точках. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: integral2009, mad_math |
||
integral2009 |
|
|
Спасибо. С топологией стрелки теперь все понятно, спасибо. А почему в дискретной топологии все множества замкнуты?
Метрическая топология. Проверим [math]T_1[/math] Пусть [math]B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)<r\}[/math] - открытый шар с центром в точке [math]a[/math] и радиуса [math]r[/math] Возьмем 2 произвольные точки [math]M(x_1,y_1)\;\;\;\;\;\;N(x_1,y_2)[/math] Пусть расстояние между ними [math]MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/math] Построим шар [math]B_{r^{*}}(M)[/math] с центром в точке [math]M[/math], радиуса [math]r^{*}=\dfrac{MN}{3}[/math] Тогда Метрическая топология на плоскости удовлетворяет [math]T_1[/math] Проверим [math]T_2[/math] Рассматриваем все те же точки [math]M[/math] и [math]N[/math]. Если возьмем два шара радиуса [math]r^{*}[/math] с центрами в точках [math]M[/math] и [math]N[/math], то они пересекаться не будут. Тогда Метрическая топология на плоскости удовлетворяет [math]T_2[/math]. Верно ли это? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
1. В дискретной топологии все множества открыты и поэтому замкнуты.
2. Да, верно. Только почему Вы задаёте метрическую топологию на плоскости с помощью теоремы Пифагора? Метрику на плоскости, индуцирующую стандартную топологию, можно задать многими способами. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: integral2009, mad_math |
||
integral2009 |
|
|
спасибо! Да, это я зря теорему Пифагора приплел...
А как проверять [math]T_3[/math] и [math]T_4[/math]. Какая там окрестность у замкнутого множества? Ведь замкнутые множества будут иметь вид [math]\mathbb{R}^2\backslash B_r(a)[/math], где [math]B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)<r\}[/math] [math]\mathbb{R}^2\backslash B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)\geqslant r\}[/math] Я знаю только одну окрестность такого множества, а именно - [math]\mathbb{R}^2[/math], есть ли другие и как примерно проверить аксиомы Т3 и Т4? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Для Т3 рассмотрите расстояние между точкой и замкнутым множеством (оно существует). Затем все точки покройте открытыми кругами с центрами в этих точках и радиусом [math]\frac{ 1}{ 3 }[/math] этого расстояния.
Аксиома Т4 не выполнена (например, график функции [math]y= \frac{ 1 }{ x }[/math] и ось [math]OX[/math] в стандартной метрике). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: integral2009, mad_math |
||
integral2009 |
|
|
Prokop писал(а): Для Т3 рассмотрите расстояние между точкой и замкнутым множеством (оно существует). Затем все точки покройте открытыми кругами с центрами в этих точках и радиусом [math]\frac{ 1}{ 3 }[/math] этого расстояния. Аксиома Т4 не выполнена (например, график функции [math]y= \frac{ 1 }{ x }[/math] и ось [math]OX[/math] в стандартной метрике). А что такое расстояние между точкой и замкнутым множеством? Имеется ввиду, что у нас есть шар, мы берем из него точку, тогда расстоянием будет - минимальное расстояние до любой точки замкнутого множества? А в Виро, Нецветаев написано, что Т4 выполняется Страница 124 тут http://www.math.sunysb.edu/~oleg/topoman/rus-book.pdf |
||
Вернуться к началу | ||
integral2009 |
|
|
Prokop писал(а): Аксиома Т4 не выполнена (например, график функции [math]y= \frac{ 1 }{ x }[/math] и ось [math]OX[/math] в стандартной метрике). А если огородить функцию хитрым объединением шаров, таких что получится коридор [math]\left(\frac{ 1 }{ x+\varepsilon};\frac{ 1 }{ x -\varepsilon}\right)[/math] для [math]x>0[/math], для отрицательных икс -- аналогично. Prokop писал(а): Затем все точки покройте открытыми кругами с центрами в этих точках и радиусом [math]\frac{ 1}{ 3 }[/math] этого расстояния. Все точки из этого круга открытого? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Да, с гиперболой я поторопился. Можно выбрать "коридоры".
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: integral2009 |
||
integral2009 |
|
|
Prokop писал(а): Да, с гиперболой я поторопился. Можно выбрать "коридоры". А как все-таки доказать тогда, что метрическое пространство удовлетворяет T4? И еще про Т3 тоже я не очень понял (в сообщении выше написал - что именно) |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Аксиомы отделимости | 1 |
259 |
18 июл 2016, 18:12 |
|
Аксиомы | 1 |
273 |
17 июн 2015, 16:59 |
|
про аксиомы
в форуме Палата №6 |
110 |
1679 |
09 июн 2021, 10:44 |
|
Аксиомы стереометрии
в форуме Геометрия |
10 |
709 |
02 ноя 2014, 17:27 |
|
Аксиомы стереометрии
в форуме Геометрия |
11 |
950 |
03 ноя 2014, 21:05 |
|
Аксиомы стереометрии
в форуме Геометрия |
1 |
257 |
19 окт 2016, 00:01 |
|
Аксиомы теории множеств
в форуме Размышления по поводу и без |
1 |
334 |
14 фев 2018, 13:40 |
|
Аксиомы и теоремы алгебры
в форуме Палата №6 |
43 |
917 |
08 май 2023, 13:40 |
|
Аксиомы стереометрии и их следствия
в форуме Геометрия |
4 |
3317 |
06 сен 2014, 09:54 |
|
Аксиомы стереометрии, тест для пирамиды
в форуме Геометрия |
23 |
690 |
10 ноя 2017, 06:42 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |