Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 03:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 янв 2013, 03:25
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
T1 В топологическом пространстве для любых двух различных точек каждая из точек имеет открытую окрестность не содержащую другую.

T2 В топологическом пространстве любых две различные точки имеют непересекающиеся открытые окрестности.

T3 В топологическом пространстве каждая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся открытые окрестности.

T4 В топологическом пространстве каждые два непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся открытые окрестности.

Вопрос в том -- как проверить аксиомы T4 и Т3 для дискретной топологии и для топологии стрелки ( [math]X=[0;+\infty)[/math], а открытые подмножества имеют вид [math](a;+\infty)[/math], [math]a>0[/math])? Как проверить для метрической топологии на плоскости Т1 и Т2 (Т3 и Т4 уж сам попробую, если подскажите -- какие окрестности у замкнутых множеств будут?)

Какие брать окрестности замкнутых множеств, подскажите, пожалуйста!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 11:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для дискретной топологии аксиомы выполнены, т.к. там любое множество является открытым и замкнутым одновременно.
Для топологии стрелки Т3 и Т4 не выполнены. В этой топологии любое замкнутое множество имеет вид [math]\left[{0,a}\right][/math], и любая окрестность такого множества совпадает со всем пространством.
В случае метрической топологии на плоскости рассмотрите открытые шары с центрами в, интересующих Вас, точках.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
integral2009, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 17:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 янв 2013, 03:25
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. С топологией стрелки теперь все понятно, спасибо. А почему в дискретной топологии все множества замкнуты?

Метрическая топология.

Проверим [math]T_1[/math]

Пусть [math]B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)<r\}[/math] - открытый шар с центром в точке [math]a[/math] и радиуса [math]r[/math]

Возьмем 2 произвольные точки [math]M(x_1,y_1)\;\;\;\;\;\;N(x_1,y_2)[/math]

Пусть расстояние между ними [math]MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/math]

Построим шар [math]B_{r^{*}}(M)[/math] с центром в точке [math]M[/math], радиуса [math]r^{*}=\dfrac{MN}{3}[/math]

Тогда Метрическая топология на плоскости удовлетворяет [math]T_1[/math]

Проверим [math]T_2[/math]

Рассматриваем все те же точки [math]M[/math] и [math]N[/math]. Если возьмем два шара радиуса [math]r^{*}[/math] с центрами в точках [math]M[/math] и [math]N[/math], то они пересекаться не будут.

Тогда Метрическая топология на плоскости удовлетворяет [math]T_2[/math]. Верно ли это?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 19:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. В дискретной топологии все множества открыты и поэтому замкнуты.
2. Да, верно. Только почему Вы задаёте метрическую топологию на плоскости с помощью теоремы Пифагора? Метрику на плоскости, индуцирующую стандартную топологию, можно задать многими способами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
integral2009, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 19:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 янв 2013, 03:25
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
спасибо! Да, это я зря теорему Пифагора приплел...

А как проверять [math]T_3[/math] и [math]T_4[/math]. Какая там окрестность у замкнутого множества? Ведь замкнутые множества будут иметь вид [math]\mathbb{R}^2\backslash B_r(a)[/math], где

[math]B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)<r\}[/math]

[math]\mathbb{R}^2\backslash B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)\geqslant r\}[/math] Я знаю только одну окрестность такого множества, а именно - [math]\mathbb{R}^2[/math], есть ли другие и как примерно проверить аксиомы Т3 и Т4?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 19:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для Т3 рассмотрите расстояние между точкой и замкнутым множеством (оно существует). Затем все точки покройте открытыми кругами с центрами в этих точках и радиусом [math]\frac{ 1}{ 3 }[/math] этого расстояния.
Аксиома Т4 не выполнена (например, график функции [math]y= \frac{ 1 }{ x }[/math] и ось [math]OX[/math] в стандартной метрике).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
integral2009, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 20:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 янв 2013, 03:25
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Для Т3 рассмотрите расстояние между точкой и замкнутым множеством (оно существует). Затем все точки покройте открытыми кругами с центрами в этих точках и радиусом [math]\frac{ 1}{ 3 }[/math] этого расстояния.
Аксиома Т4 не выполнена (например, график функции [math]y= \frac{ 1 }{ x }[/math] и ось [math]OX[/math] в стандартной метрике).


А что такое расстояние между точкой и замкнутым множеством? Имеется ввиду, что у нас есть шар, мы берем из него точку, тогда расстоянием будет - минимальное расстояние до любой точки замкнутого множества?

А в Виро, Нецветаев написано, что Т4 выполняется

Изображение

Страница 124 тут

http://www.math.sunysb.edu/~oleg/topoman/rus-book.pdf

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 20:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 янв 2013, 03:25
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Аксиома Т4 не выполнена (например, график функции [math]y= \frac{ 1 }{ x }[/math] и ось [math]OX[/math] в стандартной метрике).

А если огородить функцию хитрым объединением шаров, таких что получится коридор [math]\left(\frac{ 1 }{ x+\varepsilon};\frac{ 1 }{ x -\varepsilon}\right)[/math] для [math]x>0[/math], для отрицательных икс -- аналогично.

Prokop писал(а):
Затем все точки покройте открытыми кругами с центрами в этих точках и радиусом [math]\frac{ 1}{ 3 }[/math] этого расстояния.

Все точки из этого круга открытого?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 20:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, с гиперболой я поторопился. Можно выбрать "коридоры".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
integral2009
 Заголовок сообщения: Re: Аксиомы отделимости
СообщениеДобавлено: 13 янв 2013, 22:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 янв 2013, 03:25
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Да, с гиперболой я поторопился. Можно выбрать "коридоры".

А как все-таки доказать тогда, что метрическое пространство удовлетворяет T4?

И еще про Т3 тоже я не очень понял (в сообщении выше написал - что именно)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Аксиомы отделимости

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Knyazhskiy

1

259

18 июл 2016, 18:12

Аксиомы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Stasya7

1

273

17 июн 2015, 16:59

про аксиомы

в форуме Палата №6

O Micron

110

1679

09 июн 2021, 10:44

Аксиомы стереометрии

в форуме Геометрия

Olga1975

10

709

02 ноя 2014, 17:27

Аксиомы стереометрии

в форуме Геометрия

Olga1975

11

950

03 ноя 2014, 21:05

Аксиомы стереометрии

в форуме Геометрия

TheMukkc

1

257

19 окт 2016, 00:01

Аксиомы теории множеств

в форуме Размышления по поводу и без

Slon

1

334

14 фев 2018, 13:40

Аксиомы и теоремы алгебры

в форуме Палата №6

Spirin

43

917

08 май 2023, 13:40

Аксиомы стереометрии и их следствия

в форуме Геометрия

dasha math

4

3317

06 сен 2014, 09:54

Аксиомы стереометрии, тест для пирамиды

в форуме Геометрия

nikpasternak

23

690

10 ноя 2017, 06:42


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved