Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачи по функциональному анализу. Часть 2
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=21145
Страница 1 из 1

Автор:  frozx [ 04 янв 2013, 16:31 ]
Заголовок сообщения:  Задачи по функциональному анализу. Часть 2

Прошу помочь по данным задачам(если можно с небольшим пояснением)

1) Выяснить, компактно ли в [math]L^{2} [0, 1][/math] множество всех таких функций [math]x[/math], что [math]0 \leqslant x(t) \leqslant 1[/math] при всех [math]t[/math].

2) Найти норму линейного функционала на [math]C[0,1][/math], заданного формулой [math]l(x)=x(0)-x(1|2)+x(1)+\int\limits_{0}^{1}(s-1|2)x(s)ds[/math]

3) Найти две первые производные в [math]D'[/math] следующей функции [math]F \,\colon F(x) = -x[/math] при [math]x < 0[/math], [math]F(x) = 2x[/math] при [math]x \geqslant 0[/math].

Автор:  Prokop [ 04 янв 2013, 17:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2

1. Компактности нет. Найдите, например, ортогональную систему функций.
2. Сначала найдите норму каждого слагаемого, а затем сложите. Далее, подберите функцию или последовательность функций, реализующих эту норму. Ответ: 3.25.
3. Действуйте по определению производной обобщённой функции. Ответ: [math]3 \delta[/math]

Автор:  frozx [ 04 янв 2013, 22:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2

Prokop
Спасибо огромное! А Вы не могли бы поподробнее расписать 2 и 3?

Автор:  Prokop [ 04 янв 2013, 22:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2

3. Пусть [math]\phi[/math] - пробная функция. Тогда по определению производной получаем
[math]\begin{array}{l}\left\langle{F',\phi}\right\rangle = - \left\langle{F,\phi '}\right\rangle = - \int\limits_{- \infty}^\infty{F\left( x \right) \cdot \phi '\left( x \right)dx}= \int\limits_{- \infty}^0{x \cdot \phi '\left( x \right)dx}- 2\int\limits_0^\infty{x \cdot \phi '\left( x \right)dx}= \left.{x \cdot \phi \left( x \right)}\right|_{- \infty}^0 - \\ - \int\limits_{- \infty}^0{\phi \left( x \right)dx}- 2\left.{x \cdot \phi \left( x \right)}\right|_0^\infty + 2\int\limits_0^\infty{\phi \left( x \right)dx}= - \int\limits_{- \infty}^0{\phi \left( x \right)dx}+ 2\int\limits_0^\infty{\phi \left( x \right)dx}= \int\limits_{- \infty}^\infty{F'\left( x \right) \cdot \phi \left( x \right)dx}\\ \end{array}[/math]
Отсюда выводим
[math]F'\left( x \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{- 1,\;x < 0}\\{2,\;x \ge 0}\\ \end{array}}\right.[/math]
Вторая производная
[math]\begin{array}{l}\left\langle{F'',\phi}\right\rangle = \left\langle{F,\phi ''}\right\rangle = \int\limits_{- \infty}^\infty{F\left( x \right) \cdot \phi ''\left( x \right)dx}= - \int\limits_{- \infty}^0{x \cdot \phi ''\left( x \right)dx}+ 2\int\limits_0^\infty{x \cdot \phi ''\left( x \right)dx}= - \left.{x \cdot \phi '\left( x \right)}\right|_{- \infty}^0 + \\ + \int\limits_{- \infty}^0{\phi '\left( x \right)dx}+ 2\left.{x \cdot \phi '\left( x \right)}\right|_0^\infty - 2\int\limits_0^\infty{\phi '\left( x \right)dx}= \int\limits_{- \infty}^0{\phi '\left( x \right)dx}- 2\int\limits_0^\infty{\phi '\left( x \right)dx}= \phi \left( 0 \right) + 2\phi \left( 0 \right) = \left\langle{3\delta ,\phi}\right\rangle \\ \end{array}[/math]
Поэтому [math]F'' = 3\delta[/math]

Автор:  Prokop [ 04 янв 2013, 23:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2

2. Оценим норму сверху. Из неравенств
[math]\left|{l\left( x \right)}\right| \le \left|{x\left( 0 \right)}\right| + \left|{x\left({\frac{1}{2}}\right)}\right| + \left|{x\left( 1 \right)}\right| + \int\limits_0^1{\left|{s - \frac{1}{2}}\right|}\cdot \left|{x\left( s \right)}\right|ds \le \left({3 + \int\limits_0^1{\left|{s - \frac{1}{2}}\right|}ds}\right) \cdot \mathop{\max \left|{x\left( s \right)}\right|}\limits_{s \in \left[{0,1}\right]}= 3.25 \cdot \left\| x \right\|[/math]
следует оценка [math]\left\| l \right\| \le 3.25[/math]
Для оценки нормы функционала снизу построим последовательность функций, которая "аппроксимирует" разрывную функцию [math]{\mathop{\rm sign}\nolimits}\left({s - \frac{1}{2}}\right)[/math],
[math]x_n \left( s \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{1 - 2ns,\;0 \le s \le \frac{1}{n}}\\{- 1,\;\frac{1}{n}\le s \le \frac{1}{2}}\\{2ns - n - 1,\;\frac{1}{2}\le s \le \frac{1}{2}+ \frac{1}{n}}\\{1,\;\frac{1}{2}+ \frac{1}{n}\le s \le 1}\\\end{array}}\right.[/math]
Отметим, что нормы этих функций равны единице, и [math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}l\left({x_n}\right) = 3.25[/math]
Поэтому [math]\left\| l \right\| = 3.25[/math]

Автор:  frozx [ 16 янв 2013, 21:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2

Prokop
Спасибо за все. А можете подсказать эту систему из первого задания?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/