Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачи по функциональному анализу. Часть 2
СообщениеДобавлено: 04 янв 2013, 16:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2012, 13:26
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу помочь по данным задачам(если можно с небольшим пояснением)

1) Выяснить, компактно ли в [math]L^{2} [0, 1][/math] множество всех таких функций [math]x[/math], что [math]0 \leqslant x(t) \leqslant 1[/math] при всех [math]t[/math].

2) Найти норму линейного функционала на [math]C[0,1][/math], заданного формулой [math]l(x)=x(0)-x(1|2)+x(1)+\int\limits_{0}^{1}(s-1|2)x(s)ds[/math]

3) Найти две первые производные в [math]D'[/math] следующей функции [math]F \,\colon F(x) = -x[/math] при [math]x < 0[/math], [math]F(x) = 2x[/math] при [math]x \geqslant 0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2
СообщениеДобавлено: 04 янв 2013, 17:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Компактности нет. Найдите, например, ортогональную систему функций.
2. Сначала найдите норму каждого слагаемого, а затем сложите. Далее, подберите функцию или последовательность функций, реализующих эту норму. Ответ: 3.25.
3. Действуйте по определению производной обобщённой функции. Ответ: [math]3 \delta[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2
СообщениеДобавлено: 04 янв 2013, 22:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2012, 13:26
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Спасибо огромное! А Вы не могли бы поподробнее расписать 2 и 3?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2
СообщениеДобавлено: 04 янв 2013, 22:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3. Пусть [math]\phi[/math] - пробная функция. Тогда по определению производной получаем
[math]\begin{array}{l}\left\langle{F',\phi}\right\rangle = - \left\langle{F,\phi '}\right\rangle = - \int\limits_{- \infty}^\infty{F\left( x \right) \cdot \phi '\left( x \right)dx}= \int\limits_{- \infty}^0{x \cdot \phi '\left( x \right)dx}- 2\int\limits_0^\infty{x \cdot \phi '\left( x \right)dx}= \left.{x \cdot \phi \left( x \right)}\right|_{- \infty}^0 - \\ - \int\limits_{- \infty}^0{\phi \left( x \right)dx}- 2\left.{x \cdot \phi \left( x \right)}\right|_0^\infty + 2\int\limits_0^\infty{\phi \left( x \right)dx}= - \int\limits_{- \infty}^0{\phi \left( x \right)dx}+ 2\int\limits_0^\infty{\phi \left( x \right)dx}= \int\limits_{- \infty}^\infty{F'\left( x \right) \cdot \phi \left( x \right)dx}\\ \end{array}[/math]
Отсюда выводим
[math]F'\left( x \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{- 1,\;x < 0}\\{2,\;x \ge 0}\\ \end{array}}\right.[/math]
Вторая производная
[math]\begin{array}{l}\left\langle{F'',\phi}\right\rangle = \left\langle{F,\phi ''}\right\rangle = \int\limits_{- \infty}^\infty{F\left( x \right) \cdot \phi ''\left( x \right)dx}= - \int\limits_{- \infty}^0{x \cdot \phi ''\left( x \right)dx}+ 2\int\limits_0^\infty{x \cdot \phi ''\left( x \right)dx}= - \left.{x \cdot \phi '\left( x \right)}\right|_{- \infty}^0 + \\ + \int\limits_{- \infty}^0{\phi '\left( x \right)dx}+ 2\left.{x \cdot \phi '\left( x \right)}\right|_0^\infty - 2\int\limits_0^\infty{\phi '\left( x \right)dx}= \int\limits_{- \infty}^0{\phi '\left( x \right)dx}- 2\int\limits_0^\infty{\phi '\left( x \right)dx}= \phi \left( 0 \right) + 2\phi \left( 0 \right) = \left\langle{3\delta ,\phi}\right\rangle \\ \end{array}[/math]
Поэтому [math]F'' = 3\delta[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2
СообщениеДобавлено: 04 янв 2013, 23:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2. Оценим норму сверху. Из неравенств
[math]\left|{l\left( x \right)}\right| \le \left|{x\left( 0 \right)}\right| + \left|{x\left({\frac{1}{2}}\right)}\right| + \left|{x\left( 1 \right)}\right| + \int\limits_0^1{\left|{s - \frac{1}{2}}\right|}\cdot \left|{x\left( s \right)}\right|ds \le \left({3 + \int\limits_0^1{\left|{s - \frac{1}{2}}\right|}ds}\right) \cdot \mathop{\max \left|{x\left( s \right)}\right|}\limits_{s \in \left[{0,1}\right]}= 3.25 \cdot \left\| x \right\|[/math]
следует оценка [math]\left\| l \right\| \le 3.25[/math]
Для оценки нормы функционала снизу построим последовательность функций, которая "аппроксимирует" разрывную функцию [math]{\mathop{\rm sign}\nolimits}\left({s - \frac{1}{2}}\right)[/math],
[math]x_n \left( s \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{1 - 2ns,\;0 \le s \le \frac{1}{n}}\\{- 1,\;\frac{1}{n}\le s \le \frac{1}{2}}\\{2ns - n - 1,\;\frac{1}{2}\le s \le \frac{1}{2}+ \frac{1}{n}}\\{1,\;\frac{1}{2}+ \frac{1}{n}\le s \le 1}\\\end{array}}\right.[/math]
Отметим, что нормы этих функций равны единице, и [math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}l\left({x_n}\right) = 3.25[/math]
Поэтому [math]\left\| l \right\| = 3.25[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу. Часть 2
СообщениеДобавлено: 16 янв 2013, 21:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2012, 13:26
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Спасибо за все. А можете подсказать эту систему из первого задания?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачи по Функциональному анализу

в форуме Объявления участников Форума

Shikamaru

1

437

27 янв 2013, 21:18

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

TanyaGromik

3

455

24 дек 2013, 21:47

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

frozx

10

1123

30 ноя 2012, 11:16

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vestvud

8

761

11 фев 2013, 13:45

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Scofield

2

556

15 дек 2012, 21:12

Задания по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

nikallass

8

464

24 янв 2012, 13:36

Задачки по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

nvp

1

474

17 май 2014, 15:44

Задания по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

seregaponarin

20

1704

16 сен 2013, 14:48

Семестровая по функциональному анализу.

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alyona000

0

277

27 май 2014, 01:37

Задача по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vasyabogomol

1

104

01 апр 2017, 15:48


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved