Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
frozx |
|
|
1) Найти ортогональную проекцию функции [math]f(t)=\sin t[/math] на двумерное пространство, порожденное функциями [math]g(t)=t[/math] и [math]h(t)=t^{2}[/math] в [math]L^{2}[0;2 \pi ][/math] 2) Найти сопряженный для следующего оператора в [math]l^{2}\colon\, Ax=(x_1,0,x_2,0,x_3,0,\ldots)[/math] 3) Вычислить спектр следующего оператора в [math]l^{2}\colon\, Ax=\left(x_2,\frac{x_3}{3},\ldots,\frac{x_{n}}{n},\ldots\right)[/math] Помощь по хотя бы одной из задач будет очень ценной! |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
frozx, верно ли Вы написали условие в третьей задаче?
|
||
Вернуться к началу | ||
frozx |
|
|
Prokop, Да, абсолютно верно.
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
1. Ортогональная проекция будет иметь вид
[math]a \cdot g\left( t \right) + b \cdot h\left( t \right)[/math] Для определения констант [math]a[/math] и [math]b[/math] минимизируйте квадрат нормы разности [math]\left\| {f - a \cdot g - b \cdot h} \right\|^2[/math] 2. Сопряжённый оператор ищется, исходя из определения [math]\left( {Ax,y} \right) = \left( {x,A^ * y} \right)[/math] 3. Здесь [math]0[/math] - собственное число и это единственная точка спектра. Чтобы убедиться в этом, найдите спектральный радиус оператора [math]r\left( A \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {A^n } \right\|^{1\!\not{\phantom{|}}\,\,n}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alexdemath, frozx, mad_math |
||
frozx |
|
|
Prokop, а можете поподробнее рассказать как найти спектральный радиус и вообще почему именно 0?
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Найдём квадрат оператора
[math]A^2 x = \left({\frac{1}{3}x_3 ,\frac{1}{{3 \cdot 4}}x_4 , \ldots ,\frac{1}{{\left({n + 1}\right)\left({n + 2}\right)}}x_{n + 2}, \ldots}\right)[/math] куб [math]A^3 x = \left({\frac{1}{{3 \cdot 4}}x_4 ,\frac{1}{{3 \cdot 4 \cdot 5}}x_5 , \ldots ,\frac{1}{{\left({n + 1}\right)\left({n + 2}\right)\left({n + 3}\right)}}x_{n + 3}, \ldots}\right)[/math] Можно показать, что [math]A^k x = \left({\frac{1}{{3 \cdot 4 \cdots \left({k + 1}\right)}}x_{k + 1},\frac{1}{{3 \cdot 4 \cdots \left({k + 2}\right)}}x_{k + 2}, \ldots ,\frac{1}{{\left({n + 1}\right)\left({n + 2}\right) \cdots \left({n + k}\right)}}x_{n + k}, \ldots}\right)[/math] Отсюда легко вывести [math]\left\|{A^k}\right\| \leqslant \frac{2}{{\left({k + 1}\right)!}}[/math] Поэтому спектральный радиус равен [math]r\left( A \right) = \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\left\|{A^k}\right\|^{1\!\not{\phantom{|}}\,\, k}\leqslant \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\left({\frac{2}{{k + 1}}}\right)^{1\!\not{\phantom{|}}\,\, k}\left({\frac{{e^k}}{{k^k \sqrt{2\pi k}}}} \right)^{1\!\not{\phantom{|}}\,\, k}= 0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alexdemath, frozx, mad_math |
||
frozx |
|
|
Prokop
Спасибо большое! А Вы не могли бы расписать второе задание? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
По определению сопряжённого оператора имеем
[math]\left({Ax,y}\right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty{x_k y_{2k - 1}}= \left({x,A^ * y}\right)[/math] Отсюда [math]A^ * y = \left({y_1 ,y_3 , \ldots ,y_{2k - 1}, \ldots}\right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math |
||
frozx |
|
|
Prokop
Скажите, а почему находится именно спектральный радиус? какая связь между радиусом и самим спектром? |
||
Вернуться к началу | ||
frozx |
|
|
И почему кроме нуля больше нету точек?
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |