Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2012, 11:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2012, 13:26
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу помочь по некоторым задачам:

1) Найти ортогональную проекцию функции [math]f(t)=\sin t[/math] на двумерное пространство, порожденное функциями [math]g(t)=t[/math] и [math]h(t)=t^{2}[/math] в [math]L^{2}[0;2 \pi ][/math]

2) Найти сопряженный для следующего оператора в [math]l^{2}\colon\, Ax=(x_1,0,x_2,0,x_3,0,\ldots)[/math]

3) Вычислить спектр следующего оператора в [math]l^{2}\colon\, Ax=\left(x_2,\frac{x_3}{3},\ldots,\frac{x_{n}}{n},\ldots\right)[/math]

Помощь по хотя бы одной из задач будет очень ценной!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 11:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
frozx, верно ли Вы написали условие в третьей задаче?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 12:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2012, 13:26
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, Да, абсолютно верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 13:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Ортогональная проекция будет иметь вид
[math]a \cdot g\left( t \right) + b \cdot h\left( t \right)[/math]
Для определения констант [math]a[/math] и [math]b[/math] минимизируйте квадрат нормы разности
[math]\left\| {f - a \cdot g - b \cdot h} \right\|^2[/math]

2. Сопряжённый оператор ищется, исходя из определения
[math]\left( {Ax,y} \right) = \left( {x,A^ * y} \right)[/math]

3. Здесь [math]0[/math] - собственное число и это единственная точка спектра. Чтобы убедиться в этом,
найдите спектральный радиус оператора
[math]r\left( A \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {A^n } \right\|^{1\!\not{\phantom{|}}\,\,n}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexdemath, frozx, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 07 дек 2012, 12:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2012, 13:26
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, а можете поподробнее рассказать как найти спектральный радиус и вообще почему именно 0?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 07 дек 2012, 19:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найдём квадрат оператора
[math]A^2 x = \left({\frac{1}{3}x_3 ,\frac{1}{{3 \cdot 4}}x_4 , \ldots ,\frac{1}{{\left({n + 1}\right)\left({n + 2}\right)}}x_{n + 2}, \ldots}\right)[/math]
куб
[math]A^3 x = \left({\frac{1}{{3 \cdot 4}}x_4 ,\frac{1}{{3 \cdot 4 \cdot 5}}x_5 , \ldots ,\frac{1}{{\left({n + 1}\right)\left({n + 2}\right)\left({n + 3}\right)}}x_{n + 3}, \ldots}\right)[/math]
Можно показать, что
[math]A^k x = \left({\frac{1}{{3 \cdot 4 \cdots \left({k + 1}\right)}}x_{k + 1},\frac{1}{{3 \cdot 4 \cdots \left({k + 2}\right)}}x_{k + 2}, \ldots ,\frac{1}{{\left({n + 1}\right)\left({n + 2}\right) \cdots \left({n + k}\right)}}x_{n + k}, \ldots}\right)[/math]
Отсюда легко вывести
[math]\left\|{A^k}\right\| \leqslant \frac{2}{{\left({k + 1}\right)!}}[/math]
Поэтому спектральный радиус равен
[math]r\left( A \right) = \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\left\|{A^k}\right\|^{1\!\not{\phantom{|}}\,\, k}\leqslant \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\left({\frac{2}{{k + 1}}}\right)^{1\!\not{\phantom{|}}\,\, k}\left({\frac{{e^k}}{{k^k \sqrt{2\pi k}}}} \right)^{1\!\not{\phantom{|}}\,\, k}= 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexdemath, frozx, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 11 янв 2013, 13:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2012, 13:26
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Спасибо большое! А Вы не могли бы расписать второе задание?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 11 янв 2013, 22:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По определению сопряжённого оператора имеем
[math]\left({Ax,y}\right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty{x_k y_{2k - 1}}= \left({x,A^ * y}\right)[/math]
Отсюда
[math]A^ * y = \left({y_1 ,y_3 , \ldots ,y_{2k - 1}, \ldots}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 16 янв 2013, 21:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2012, 13:26
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Скажите, а почему находится именно спектральный радиус? какая связь между радиусом и самим спектром?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 18 янв 2013, 16:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2012, 13:26
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И почему кроме нуля больше нету точек?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Scofield

2

603

15 дек 2012, 21:12

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

TanyaGromik

3

493

24 дек 2013, 21:47

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vestvud

8

886

11 фев 2013, 13:45

Задачи по Функциональному анализу

в форуме Объявления участников Форума

Shikamaru

1

471

27 янв 2013, 21:18

Задачи по функциональному анализу. Часть 2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

frozx

5

638

04 янв 2013, 16:31

Задачки по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

nvp

1

535

17 май 2014, 15:44

Задача по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vasyabogomol

1

144

01 апр 2017, 15:48

Семестровая по функциональному анализу.

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alyona000

0

305

27 май 2014, 01:37

Задача по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Ilya96

20

234

16 окт 2017, 14:11

Задания по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

seregaponarin

20

1839

16 сен 2013, 14:48


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved