Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Free Dreamer |
|
|
Встретил в Интернете некоторое разночтение терминов, поэтому приведу те определения, которые нам дали на лекциях. Пусть [math](X, d)[/math] - некоторое метрическое пространство (МП) и [math]K \subseteq X[/math]. Компактность. Мн-во [math]K[/math] называется компактным, если из любого открытого покрытия множества [math]K[/math] можно выделить конечное подпокрытие. Предкомпактность. Мн-во [math]K[/math] называется предкомпактным, если его замыкание компактно. Вполне ограниченность. Мн-во [math]K[/math] называется вполне ограниченным, если при любом [math]\epsilon > 0[/math] для него в пространстве [math]X[/math] найдётся конечная [math]\epsilon[/math]-сеть. Секвенциальная компактность. Мн-во [math]K[/math] называется секвенциально компактным, если каждая последовательность точек из [math]K[/math] можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Счётная компактность. Мн-во [math]K[/math] называется счётно компактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку. С последними двумя терминами у меня серьёзная непонятка. Требуем ли мы, чтобы соответствующая предельная точка принадлежала множеству К или она в принципе должна существовать в объемлющем метрическом пространстве? То есть множество [math]\mathbb{Z}[/math] в МП [math]\mathbb{R}[/math] не имеет ни одной предельной точки (ни в себе самом, ни в [math]\mathbb{R}[/math]), значит, ни счётно компактным, ни секвенциально компактным не является. Насколько я понимаю, множество [math]A = \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] в МП [math](0; 1)[/math] - из той же оперы (у него могла бы быть предельная точка, если б мы это мн-во рассматривали в МП [math]\mathbb{R}[/math], но в МП [math](0; 1)[/math] множество [math]A[/math] предельных точек не имеет). А вот множество [math]A = \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] в [math]\mathbb{R}[/math] - оно какое? У него есть предельная точка - [math]0[/math] - но самому множеству [math]A[/math] она не принадлежит, зато принадлежит объемлющему пространству [math]\mathbb{R}[/math]. Не могли бы Вы, пожалуйста, проверить, верно или неверено я указал следующие утверждения (и контр-примеры к некоторым из них). Я уверен, что все примеры - классические, но хочу перестраховаться - чтобы проверил кто-нибудь знающий. 1) Компактность [math]\Rightarrow[/math] Замкнутость и Ограниченность Обратное неверно. Контр-пример: Множество точек вида [math]x = (0; ...; 0; 1; 0; ...)[/math] в [math]l_{2}[/math]. 2) Замкнутое подмножество компактного пространства компактно. 3) Подпространство сепарабельного пространства сепарабельно. 4) Вполне ограниченность [math]\Rightarrow[/math] Ограниченность Обратное неверно. Контр-пример: единичный шар в [math]l_{2}[/math] с центром в точке [math]x = (0; 0; ...; 0; ...)[/math] 5) Предкомпактность [math]\Leftrightarrow[/math] Вполне ограниченность 6) Компактность [math]\Rightarrow[/math] Предкомпактность [math]\Rightarrow[/math] Вполне ограниченность [math]\Rightarrow[/math] Ограниченность Из предкомпактности компактность не следует: интервал [math](0; 1)[/math] является компактным в [math]\mathbb{R}[/math], но не является замкнутым [math]\Rightarrow[/math] не является компактным. 7) Вполне ограниченность [math]\Rightarrow[/math] Сепарабельность (отсюда Компактность [math]\Rightarrow[/math] Сепарабельность) Обратное неверно. Из сепарабельности (даже вместе с ограниченностью) не следует вполне ограниченность (а значит, не следует и компактность). Контр-пример: единичный шар в [math]l_{2}[/math] с центром в точке [math]x = (0; 0; ...; 0; ...)[/math] сепарабелен (как подпространство сепарабельного пространства [math]l_{2}[/math]) и ограничен (по определению - как и любой другой шар), но не вполне ограничен. 8) Компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Полнота и Вполне ограниченность (критерий компактности Хаусдорфа) 9) Счётная компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Секвенциальная компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Компактность А вот какая связь между секвенциальной компактностью (или счётной компактностью..) и предкомпактностью?! Раз компактность равносильна полноте и вполне ограниченности, а вполне ограниченность равносильна предкомпактности, то выходит, что полное МП компактно тогда и только тогда, когда оно предкомпактно. А раз Компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Счётная компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Секвенциальная компактность, то в полном МП Предкомпактность [math]\Leftrightarrow[/math] Счётная компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Секвенциальная компактность. В то же время, наткнулся на теорему о том, что Предкомпактность равносильна счётной компактности без оговорки о полноте МП - как такое возможно? Заранее большущее-пребольшущее спасибо всем откликнувшимся. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Free Dreamer писал(а): Требуем ли мы, чтобы соответствующая предельная точка принадлежала множеству К Нет, не требуем. Все записанные Вами утверждения верны. А вот про теорему, на которую Вы наткнулись, хотелось бы узнать подробней. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
То есть наоборот, требуем. Не о том подумал.
|
||
Вернуться к началу | ||
Free Dreamer |
|
|
Требуем? То есть приведённое мною множество А (точек, сходящихся к нулю, но без нуля) считаем НЕ счётно компактным и НЕ секвенциально компактным?
Теорему чуть попозже (сейчас, к сожалению, нет времени) полностью выложу - доказательство, к счастью, не большое. Хотя, судя по всему, неверное - и мне очень бы хотелось понять, в чём именно ошибка, потому как я её не нашёл. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Free Dreamer писал(а): Требуем? То есть приведённое мною множество А (точек, сходящихся к нулю, но без нуля) считаем НЕ счётно компактным и НЕ секвенциально компактным? Да. Этот момент при формулировке определений постоянно упускается из виду (даже Колмогоров-Фомин этим страдает), но активно используется в доказательствах. |
||
Вернуться к началу | ||
Free Dreamer |
|
|
Human писал(а): Да. Этот момент при формулировке определений постоянно упускается из виду (даже Колмогоров-Фомин этим страдает), но активно используется в доказательствах. Не могли бы Вы привести пример такого док-ва в КФ? А то я пока не очень "в теме". А вот то доказательство, о котором я говорил. Меня крепко смущает именно та часть, в которой доказывается, что предкомпактность влечёт счётную компактность. Пусть [math](X,d)[/math] - некоторое метрическое пространство (МП). Множество [math]E \subseteq X[/math] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактное (в смысле определений, которые я привёл в первом сообщении).[/math] Предкомпактность [math]\Rightarrow[/math] Счётная компактность Пусть Е предкомпактно. Предположим, что Е не является счётно компактным (кстати, "счётно компактный" раздельно или через дефис писаться должно?! ). Тогда существует бесконечное подмножество А - обзовём его А - которое не имеет ни одной предельной точки. Значит, 1) замыкание множества А - объединение самого множества А и множества всех его предельных точек - совпадает со множеством А (множество предельных точек пусто), т.е. А - замкнутое множество. 2) Е - предкомпактно, т.е. его замыкание компактно. Мн-во А совпадает со своим замыканием (пункт 1): [math]A = \overline{A}[/math], значит, А - замкнутое подмножество компактного множества [math]\overline{E}[/math]. Следовательно, А - компактное множество. 3) предельных точек множество А не имеет, поэтому все точки множества А изолированные, т.е. [math]\forall x \in A[/math] существует такая окрестность точки [math]x[/math], что в этой окрестности других точек множества А нет. 4) Объединение этих окрестностей является открытым покрытием компактного (пункт 2) множества А, значит, из этого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие, т.е. конечный набор окрестностей, в каждой из которых содержится ровно одна точка из А. Значит, множество А конечно, что противоречит предположению (мы-то предполагали, что оно бесконечное). Значит, наше предположение было неверным - и Е счётно компактно. |
||
Вернуться к началу | ||
Free Dreamer |
|
|
Я, кажется, понял. И как меня так переклинило сначала?
Приведённые мной определения даны для множеств в метрическом пространстве, а определения в КФ - для самого пространства. Т.е. то, что нам определили как счётную компактность - это, выходит, то, что в КФ называется счётной предкомпактностью (понятия секвенциальной предкомпактности в КФ нет - я не уверен, что оно вообще в природе есть, но, думаю, приведённое в первом сообщении определение корректнее было бы так обозвать). И тогда всё вполне логично выходит: счётная предкомпактность множества равносильна его предкомпактности, компактность метрического пространства равносильна его компактности. И множество [math]A = \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] - это как раз пример счётно предкомпактного, но не счётно компактного множества: у него есть предельная точка в объемлющем метрическом пространстве [math]\mathbb{R}[/math], но эта точка множеству А, если его рассматривать как самостоятельное метрическое пространство, не принадлежит, значит, множество не является счётно компактным. С первой частью доказательства вроде бы уже всё хорошо, но я так и не понял, как из счётной предкомпактности предкомпактность вывести . В КФ написано, что это очевидно... |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Free Dreamer писал(а): Приведённые мной определения даны для множеств в метрическом пространстве, а определения в КФ - для самого пространства. Да, именно это я и имел в виду. В КФ упоминать про принадлежность предельной точки пространству было не обязательно, но при формулировке аналогичных понятий для множеств пространства это существенно. Free Dreamer писал(а): С первой частью доказательства вроде бы уже всё хорошо, но я так и не понял, как из счётной предкомпактности предкомпактность вывести . В КФ написано, что это очевидно... Ну, это действительно очевидным образом следует из равносильности компактности и счётной компактности, строго доказанной в КФ (по 7-ому изданию: стр. 114 теорема 10, и стр. 117 теорема 1 и следствие из неё). Если множество счётно предкомпактно, то его замыкание в объемлющем пространстве будет счётно компактным пространством (оно будет содержать предельные точки всех своих подмножеств), значит оно компактно, а значит само множество предкомпактно. |
||
Вернуться к началу | ||
Free Dreamer |
|
|
Эх, мне бы доказательство без "счётной базы" - мы этого ещё не проходили...
А что, если попробовать доказать полноту и вполне ограниченность замыкания счётно предкомпактного множества Е без использования других терминов? Вполне ограниченность уже доказана в КФ. Осталась полнота. Раз любая последовательность точек из Е имеет предельную точку в объемлющем пространстве, то любая последовательность точек из Е имеет предельную точку в замыкании Е, т.е. это верно и для фундаментальных последовательностей (ф.п-ть): любая ф. п-ть точек из Е имеет сходящуюся подпоследовательность (к точке из замыкания Е), т.е. любая ф. п-ть точек из Е сходится в замыкании Е. Но вопрос: а что если в ф. п-ти бесконечно много точек замыкания, не принадлежащих множеству Е? Если и для таких будет доказана сходимость, то замыкание Е полное и вполне ограниченное, т.е., по критерию Хаусдорфа, компактное. А значит, само множество Е предкомпактно по определению. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность также сходится. Это следует из того факта, что если [math]\lim_{n\to\infty}x_n=x_0[/math], то для любого [math]y\in X[/math] [math]\lim_{n\to\infty}d(x_n;y)=d(x_0;y)[/math]. Дальше попробуйте сами провести рассуждения.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |