Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2012, 20:20 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пытаюсь разобраться с (многочисленными) видами компактности в метрических пространствах и их связи друг с другом. Надеюсь на Вашу помощь.
Встретил в Интернете некоторое разночтение терминов, поэтому приведу те определения, которые нам дали на лекциях.
Пусть [math](X, d)[/math] - некоторое метрическое пространство (МП) и [math]K \subseteq X[/math].

Компактность. Мн-во [math]K[/math] называется компактным, если из любого открытого покрытия множества [math]K[/math] можно выделить конечное подпокрытие.
Предкомпактность. Мн-во [math]K[/math] называется предкомпактным, если его замыкание компактно.
Вполне ограниченность. Мн-во [math]K[/math] называется вполне ограниченным, если при любом [math]\epsilon > 0[/math] для него в пространстве [math]X[/math] найдётся конечная [math]\epsilon[/math]-сеть.
Секвенциальная компактность. Мн-во [math]K[/math] называется секвенциально компактным, если каждая последовательность точек из [math]K[/math] можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Счётная компактность. Мн-во [math]K[/math] называется счётно компактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.

С последними двумя терминами у меня серьёзная непонятка. Требуем ли мы, чтобы соответствующая предельная точка принадлежала множеству К или она в принципе должна существовать в объемлющем метрическом пространстве? То есть множество [math]\mathbb{Z}[/math] в МП [math]\mathbb{R}[/math] не имеет ни одной предельной точки (ни в себе самом, ни в [math]\mathbb{R}[/math]), значит, ни счётно компактным, ни секвенциально компактным не является. Насколько я понимаю, множество [math]A = \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] в МП [math](0; 1)[/math] - из той же оперы (у него могла бы быть предельная точка, если б мы это мн-во рассматривали в МП [math]\mathbb{R}[/math], но в МП [math](0; 1)[/math] множество [math]A[/math] предельных точек не имеет). А вот множество [math]A = \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] в [math]\mathbb{R}[/math] - оно какое? У него есть предельная точка - [math]0[/math] - но самому множеству [math]A[/math] она не принадлежит, зато принадлежит объемлющему пространству [math]\mathbb{R}[/math].

Не могли бы Вы, пожалуйста, проверить, верно или неверено я указал следующие утверждения (и контр-примеры к некоторым из них). Я уверен, что все примеры - классические, но хочу перестраховаться - чтобы проверил кто-нибудь знающий.

1) Компактность [math]\Rightarrow[/math] Замкнутость и Ограниченность
Обратное неверно. Контр-пример: Множество точек вида [math]x = (0; ...; 0; 1; 0; ...)[/math] в [math]l_{2}[/math].

2) Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

3) Подпространство сепарабельного пространства сепарабельно.

4) Вполне ограниченность [math]\Rightarrow[/math] Ограниченность
Обратное неверно. Контр-пример: единичный шар в [math]l_{2}[/math] с центром в точке [math]x = (0; 0; ...; 0; ...)[/math]

5) Предкомпактность [math]\Leftrightarrow[/math] Вполне ограниченность

6) Компактность [math]\Rightarrow[/math] Предкомпактность [math]\Rightarrow[/math] Вполне ограниченность [math]\Rightarrow[/math] Ограниченность
Из предкомпактности компактность не следует: интервал [math](0; 1)[/math] является компактным в [math]\mathbb{R}[/math], но не является замкнутым [math]\Rightarrow[/math] не является компактным.

7) Вполне ограниченность [math]\Rightarrow[/math] Сепарабельность (отсюда Компактность [math]\Rightarrow[/math] Сепарабельность)
Обратное неверно. Из сепарабельности (даже вместе с ограниченностью) не следует вполне ограниченность (а значит, не следует и компактность). Контр-пример: единичный шар в [math]l_{2}[/math] с центром в точке [math]x = (0; 0; ...; 0; ...)[/math] сепарабелен (как подпространство сепарабельного пространства [math]l_{2}[/math]) и ограничен (по определению - как и любой другой шар), но не вполне ограничен.

8) Компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Полнота и Вполне ограниченность (критерий компактности Хаусдорфа)

9) Счётная компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Секвенциальная компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Компактность

А вот какая связь между секвенциальной компактностью (или счётной компактностью..) и предкомпактностью?!
Раз компактность равносильна полноте и вполне ограниченности, а вполне ограниченность равносильна предкомпактности, то выходит, что полное МП компактно тогда и только тогда, когда оно предкомпактно. А раз
Компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Счётная компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Секвенциальная компактность, то
в полном МП Предкомпактность [math]\Leftrightarrow[/math] Счётная компактность [math]\Leftrightarrow[/math] Секвенциальная компактность.
В то же время, наткнулся на теорему о том, что Предкомпактность равносильна счётной компактности без оговорки о полноте МП - как такое возможно?

Заранее большущее-пребольшущее спасибо всем откликнувшимся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2012, 21:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Free Dreamer писал(а):
Требуем ли мы, чтобы соответствующая предельная точка принадлежала множеству К


Нет, не требуем.

Все записанные Вами утверждения верны. А вот про теорему, на которую Вы наткнулись, хотелось бы узнать подробней.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2012, 21:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
То есть наоборот, требуем. Не о том подумал. :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2012, 22:10 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Требуем? То есть приведённое мною множество А (точек, сходящихся к нулю, но без нуля) считаем НЕ счётно компактным и НЕ секвенциально компактным?

Теорему чуть попозже (сейчас, к сожалению, нет времени) полностью выложу - доказательство, к счастью, не большое. Хотя, судя по всему, неверное - и мне очень бы хотелось понять, в чём именно ошибка, потому как я её не нашёл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2012, 22:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Free Dreamer писал(а):
Требуем? То есть приведённое мною множество А (точек, сходящихся к нулю, но без нуля) считаем НЕ счётно компактным и НЕ секвенциально компактным?


Да. Этот момент при формулировке определений постоянно упускается из виду (даже Колмогоров-Фомин этим страдает), но активно используется в доказательствах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2012, 02:10 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Да. Этот момент при формулировке определений постоянно упускается из виду (даже Колмогоров-Фомин этим страдает), но активно используется в доказательствах.

Не могли бы Вы привести пример такого док-ва в КФ? А то я пока не очень "в теме".

А вот то доказательство, о котором я говорил. Меня крепко смущает именно та часть, в которой доказывается, что предкомпактность влечёт счётную компактность.

Пусть [math](X,d)[/math] - некоторое метрическое пространство (МП). Множество [math]E \subseteq X[/math] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактное (в смысле определений, которые я привёл в первом сообщении).[/math]

Предкомпактность [math]\Rightarrow[/math] Счётная компактность
Пусть Е предкомпактно.
Предположим, что Е не является счётно компактным (кстати, "счётно компактный" раздельно или через дефис писаться должно?! :unknown: ).

Тогда существует бесконечное подмножество А - обзовём его А - которое не имеет ни одной предельной точки. Значит,
1) замыкание множества А - объединение самого множества А и множества всех его предельных точек - совпадает со множеством А (множество предельных точек пусто), т.е. А - замкнутое множество.
2) Е - предкомпактно, т.е. его замыкание компактно. Мн-во А совпадает со своим замыканием (пункт 1): [math]A = \overline{A}[/math], значит, А - замкнутое подмножество компактного множества [math]\overline{E}[/math]. Следовательно, А - компактное множество.
3) предельных точек множество А не имеет, поэтому все точки множества А изолированные, т.е. [math]\forall x \in A[/math] существует такая окрестность точки [math]x[/math], что в этой окрестности других точек множества А нет.
4) Объединение этих окрестностей является открытым покрытием компактного (пункт 2) множества А, значит, из этого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие, т.е. конечный набор окрестностей, в каждой из которых содержится ровно одна точка из А. Значит, множество А конечно, что противоречит предположению (мы-то предполагали, что оно бесконечное).
Значит, наше предположение было неверным - и Е счётно компактно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2012, 03:50 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я, кажется, понял. И как меня так переклинило сначала? :(
Приведённые мной определения даны для множеств в метрическом пространстве, а определения в КФ - для самого пространства.
Т.е. то, что нам определили как счётную компактность - это, выходит, то, что в КФ называется счётной предкомпактностью (понятия секвенциальной предкомпактности в КФ нет - я не уверен, что оно вообще в природе есть, но, думаю, приведённое в первом сообщении определение корректнее было бы так обозвать).
И тогда всё вполне логично выходит: счётная предкомпактность множества равносильна его предкомпактности, компактность метрического пространства равносильна его компактности. И множество [math]A = \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] - это как раз пример счётно предкомпактного, но не счётно компактного множества: у него есть предельная точка в объемлющем метрическом пространстве [math]\mathbb{R}[/math], но эта точка множеству А, если его рассматривать как самостоятельное метрическое пространство, не принадлежит, значит, множество не является счётно компактным.

С первой частью доказательства вроде бы уже всё хорошо, но я так и не понял, как из счётной предкомпактности предкомпактность вывести :unknown:. В КФ написано, что это очевидно...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2012, 04:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Free Dreamer писал(а):
Приведённые мной определения даны для множеств в метрическом пространстве, а определения в КФ - для самого пространства.


Да, именно это я и имел в виду. В КФ упоминать про принадлежность предельной точки пространству было не обязательно, но при формулировке аналогичных понятий для множеств пространства это существенно.

Free Dreamer писал(а):
С первой частью доказательства вроде бы уже всё хорошо, но я так и не понял, как из счётной предкомпактности предкомпактность вывести :unknown: . В КФ написано, что это очевидно...


Ну, это действительно очевидным образом следует из равносильности компактности и счётной компактности, строго доказанной в КФ (по 7-ому изданию: стр. 114 теорема 10, и стр. 117 теорема 1 и следствие из неё). Если множество счётно предкомпактно, то его замыкание в объемлющем пространстве будет счётно компактным пространством (оно будет содержать предельные точки всех своих подмножеств), значит оно компактно, а значит само множество предкомпактно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2012, 18:32 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эх, мне бы доказательство без "счётной базы" - мы этого ещё не проходили...
А что, если попробовать доказать полноту и вполне ограниченность замыкания счётно предкомпактного множества Е без использования других терминов?
Вполне ограниченность уже доказана в КФ. Осталась полнота.
Раз любая последовательность точек из Е имеет предельную точку в объемлющем пространстве, то любая последовательность точек из Е имеет предельную точку в замыкании Е, т.е. это верно и для фундаментальных последовательностей (ф.п-ть): любая ф. п-ть точек из Е имеет сходящуюся подпоследовательность (к точке из замыкания Е), т.е. любая ф. п-ть точек из Е сходится в замыкании Е. Но вопрос: а что если в ф. п-ти бесконечно много точек замыкания, не принадлежащих множеству Е? Если и для таких будет доказана сходимость, то замыкание Е полное и вполне ограниченное, т.е., по критерию Хаусдорфа, компактное. А значит, само множество Е предкомпактно по определению.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Компактность метрических пространств и её виды
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2012, 19:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность также сходится. Это следует из того факта, что если [math]\lim_{n\to\infty}x_n=x_0[/math], то для любого [math]y\in X[/math] [math]\lim_{n\to\infty}d(x_n;y)=d(x_0;y)[/math]. Дальше попробуйте сами провести рассуждения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Пополнение метрических пространств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Mishima

2

387

26 фев 2017, 10:42

Полнота метрических пространств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Katrin77777

18

985

01 дек 2016, 14:49

Компактность произведения топ. пространств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dimanya

8

526

05 фев 2021, 17:09

Сходимость в метрических пространствах

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Katrin77777

4

978

28 ноя 2016, 18:55

Точные верхняя и нижняя границы в метрических пространствах

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

anastasi

1

379

03 янв 2015, 20:21

Виды бесконечностей

в форуме Размышления по поводу и без

OverMind

3

249

26 фев 2020, 23:10

Виды отношений

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Pichat

1

286

13 июн 2016, 11:30

Точки прерывания и их виды

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sofijka

3

292

02 ноя 2014, 20:46

Основные виды механизмов

в форуме Механика

Vikelia

8

284

14 янв 2022, 17:11

Компактность оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dauletfromast1996

1

543

03 окт 2016, 22:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved