Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
gagonaft |
|
|
Пусть на R задана метрика [math]\rho(x,y)=|\operatorname{arctg}x-\operatorname{arctg}y|[/math]. Доказать, что полученное метрическое пространство не является полным, и найти его пополнение. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Для этого надо указать сходящуюся в этой метрике последовательность, которая не имеет предела в [math]\mathbb{R}[/math]
Рассмотрите, например, последовательность [math]x_n = n,\;n \in \mathbb{N}.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
gagonaft |
|
|
то есть вы хотите сказать, что раз эта фундаментальная последовательность в пределе дает плюс бесконечность, то получается, что она не будет являться полным пространством?
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Да, [math]\mathbb{R}[/math] в этой метрике не является полным пространством.
|
||
Вернуться к началу | ||
gagonaft |
|
|
хотел бы уточнить, как правильно написать это в доказательстве, я так предполагаю, что последовательность минус ее предел должно быть больше эпсилан, но не знаю как это будет грамотно
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Какой предел? В том-то и дело, что предела нет.
Вам надо доказать, что указанная последовательность фундаментальна. |
||
Вернуться к началу | ||
gagonaft |
|
|
эм... а как это сделать?
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
По определению или критерию Коши.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1% ... 1%82%D1%8C |
||
Вернуться к началу | ||
Free Dreamer |
|
|
Я бы решал так.
По-хорошему, сначала стоило бы убедиться, что заданная метрика действительно является метрикой, то есть действительно удовлетворяет трём свойствам метрики. Указанная функция [math]\rho[/math] действительно неотрицательна, принимает значение нуль только если [math]arctgx = arctgy[/math], что, в силу строгой монотонности арктангенса, возможно лишь если [math]x = y[/math]. Из свойств алгебраических операций над действительными числами следует, что [math]\rho(x,y) = \rho(y,x)[/math]. И в неравенстве треугольника тоже легко убедиться: достаточно его записать и сказать, что, в силу свойств модуля, оно действительно выполняется. Чтобы доказать, что данное метрическое пространство не является полной, возьмём отрицание определения полного пространства. Пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства. Отметим, что если фундаментальных последовательностей в данном пространстве нет вообще, то оно, согласно определению, тоже будет полным. Отрицание определения будет иметь вид: пространства будет НЕполным, если найдётся в нём такая фундаментальная последовательность, которая не является сходящейся в этом метрическом пространстве. Возьмём произвольную последовательность действительных чисел, которая является фундаментальной относительно данной метрики. Обозначим эту последовательность через [math]\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math]. По нашему предположению эта последовательность должна быть фундаментальной, то есть (по определению фундаментальности) она удовлетворяет следующему условию: [math]\forall \varepsilon > 0 ~~ \exists N( \varepsilon ) \,\colon ~ \forall n \geqslant N ~ ~ \forall p \in \mathbb{N} ~ ~ \rho (x_{n+p}, x_{n}) = |arctg (x_{n+p}) - arctg (x_{n})| < \varepsilon[/math]. Обозначим [math]y_{n} = arctg(x_{n})[/math]. Получим последовательность действительных чисел, для которой, из выше написанного, справедливо следующее: [math]\forall \varepsilon > 0 ~~ \exists N( \varepsilon ) \,\colon ~ \forall n \geqslant N ~ ~ \forall p \in \mathbb{N} ~ ~ |arctg (x_{n+p}) - arctg (x_{n})| = |y_{n+p} - y_{n}| < \varepsilon[/math]. То есть последовательность действительных чисел [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] является фундаментальной во множестве действительных чисел относительно стандартной метрики (обычного модуля). По критерию Коши, который доказывается в курсе мат. анализа, эта последовательность сходится. Посмотрим, к чему она может сходится. Согласно выше сказанному, [math]y_{n} = arctg(x_{n})[/math], а арктангенс может принимать значения лишь в интервале [math](- \frac{ \pi }{ 2 } ; \frac{ \pi }{ 2 } )[/math]. Если последовательность [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] сходится к одной из точек этого интервала, то, думаю, можно показать, что и исходная последовательность [math]\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] спокойно сходится. Но у интервала есть ещё две предельные точки, этому интервалу не принадлежащие. Что если последовательность [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] сходится к одной из них? Например, предъявим последовательность [math]\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math], такую, что последовательность [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty} = \left\{ arctg(x_{n}) \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] сходится к [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math]. Самый простой выбор - положить [math]x_{n} = n[/math], тогда (обычные пределы) [math]\lim_{n \to \infty}n = +\infty[/math] и [math]\lim_{n \to \infty}arctg(x_{n}) = \frac{ \pi }{ 2 }[/math]. Вообще решение можно начинать с этого места. Всё, что было перед предыдущей строкой я написал, чтобы показать, как именно я выбирал последовательность. Нам осталось показать, что она является фундаментальной - предлагаю это сделать Вам. Нам также нужно показать, что ни одно действительное число не является пределом этой последовательности относительно заданной метрики. В самом деле, предположим, что найдётся элемент нашего метрического пространства - то есть некоторое действительное число a, которое является пределом нашей последовательности: [math]\exists a = \lim_{n \to \infty}x_{n}[/math] По определению сходимости последовательности в метрическом пространстве, это означает, что должно выполняться равенство: [math]\lim_{n \to \infty}\rho(x_{n}, a) = 0[/math] [math]\lim_{n \to \infty}\rho(n, a) = 0[/math] [math]\lim_{n \to \infty}|arctgn - arctga| = 0[/math] Но, если перейти к пределу по n (обычному пределу), то получим, что требуемое равенство можно переписать в виде: [math]\lim_{n \to \infty}|\frac{ \pi }{ 2 } - arctga| = 0[/math], откуда должно выполняться равенство [math]arctga = \frac{ \pi }{ 2 }[/math], что невозможно на обычной действительной прямой. Мы предъявили фундаментальную последовательность, которая, тем не менее, не сходится. Осталось решить, какими (двумя) элементами нужно дополнить исходное метрическое пространство, чтобы в нём любая фундаментальная последовательность была сходящейся. Надеюсь, что моё решение правильное. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Free Dreamer "Спасибо" сказали: Asiria, Gintoki-_- |
||
Human |
|
|
Правильное, только, думаю, ТС уже оно не нужно, последнее сообщение в этой теме было написано 17 мая 2012.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |