Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство не полноты метрического пространства
СообщениеДобавлено: 17 май 2012, 14:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 май 2012, 13:02
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что делать, чтобы доказать, что пространство не является полным?

Пусть на R задана метрика [math]\rho(x,y)=|\operatorname{arctg}x-\operatorname{arctg}y|[/math]. Доказать, что полученное метрическое пространство не является полным, и найти его пополнение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным
СообщениеДобавлено: 17 май 2012, 15:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2268 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для этого надо указать сходящуюся в этой метрике последовательность, которая не имеет предела в [math]\mathbb{R}[/math]
Рассмотрите, например, последовательность [math]x_n = n,\;n \in \mathbb{N}.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным
СообщениеДобавлено: 17 май 2012, 15:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 май 2012, 13:02
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
то есть вы хотите сказать, что раз эта фундаментальная последовательность в пределе дает плюс бесконечность, то получается, что она не будет являться полным пространством?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным
СообщениеДобавлено: 17 май 2012, 15:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2268 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, [math]\mathbb{R}[/math] в этой метрике не является полным пространством.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным
СообщениеДобавлено: 17 май 2012, 15:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 май 2012, 13:02
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
хотел бы уточнить, как правильно написать это в доказательстве, я так предполагаю, что последовательность минус ее предел должно быть больше эпсилан, но не знаю как это будет грамотно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным
СообщениеДобавлено: 17 май 2012, 15:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2268 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какой предел? В том-то и дело, что предела нет. :)
Вам надо доказать, что указанная последовательность фундаментальна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным
СообщениеДобавлено: 17 май 2012, 15:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 май 2012, 13:02
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
эм... а как это сделать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным
СообщениеДобавлено: 17 май 2012, 16:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2268 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По определению или критерию Коши.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1% ... 1%82%D1%8C

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство не полноты метрического пространства
СообщениеДобавлено: 24 окт 2012, 14:16 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я бы решал так.

По-хорошему, сначала стоило бы убедиться, что заданная метрика действительно является метрикой, то есть действительно удовлетворяет трём свойствам метрики. Указанная функция [math]\rho[/math] действительно неотрицательна, принимает значение нуль только если [math]arctgx = arctgy[/math], что, в силу строгой монотонности арктангенса, возможно лишь если [math]x = y[/math]. Из свойств алгебраических операций над действительными числами следует, что [math]\rho(x,y) = \rho(y,x)[/math]. И в неравенстве треугольника тоже легко убедиться: достаточно его записать и сказать, что, в силу свойств модуля, оно действительно выполняется.

Чтобы доказать, что данное метрическое пространство не является полной, возьмём отрицание определения полного пространства. Пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства. Отметим, что если фундаментальных последовательностей в данном пространстве нет вообще, то оно, согласно определению, тоже будет полным. Отрицание определения будет иметь вид: пространства будет НЕполным, если найдётся в нём такая фундаментальная последовательность, которая не является сходящейся в этом метрическом пространстве.

Возьмём произвольную последовательность действительных чисел, которая является фундаментальной относительно данной метрики. Обозначим эту последовательность через [math]\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math]. По нашему предположению эта последовательность должна быть фундаментальной, то есть (по определению фундаментальности) она удовлетворяет следующему условию:
[math]\forall \varepsilon > 0 ~~ \exists N( \varepsilon ) \,\colon ~ \forall n \geqslant N ~ ~ \forall p \in \mathbb{N} ~ ~ \rho (x_{n+p}, x_{n}) = |arctg (x_{n+p}) - arctg (x_{n})| < \varepsilon[/math].

Обозначим [math]y_{n} = arctg(x_{n})[/math]. Получим последовательность действительных чисел, для которой, из выше написанного, справедливо следующее:
[math]\forall \varepsilon > 0 ~~ \exists N( \varepsilon ) \,\colon ~ \forall n \geqslant N ~ ~ \forall p \in \mathbb{N} ~ ~ |arctg (x_{n+p}) - arctg (x_{n})| = |y_{n+p} - y_{n}| < \varepsilon[/math]. То есть последовательность действительных чисел [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] является фундаментальной во множестве действительных чисел относительно стандартной метрики (обычного модуля). По критерию Коши, который доказывается в курсе мат. анализа, эта последовательность сходится. Посмотрим, к чему она может сходится.
Согласно выше сказанному, [math]y_{n} = arctg(x_{n})[/math], а арктангенс может принимать значения лишь в интервале [math](- \frac{ \pi }{ 2 } ; \frac{ \pi }{ 2 } )[/math].

Если последовательность [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] сходится к одной из точек этого интервала, то, думаю, можно показать, что и исходная последовательность [math]\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] спокойно сходится. Но у интервала есть ещё две предельные точки, этому интервалу не принадлежащие. Что если последовательность [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] сходится к одной из них? Например, предъявим последовательность [math]\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math], такую, что последовательность [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty} = \left\{ arctg(x_{n}) \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] сходится к [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math].

Самый простой выбор - положить [math]x_{n} = n[/math], тогда (обычные пределы) [math]\lim_{n \to \infty}n = +\infty[/math] и [math]\lim_{n \to \infty}arctg(x_{n}) = \frac{ \pi }{ 2 }[/math].

Вообще решение можно начинать с этого места. Всё, что было перед предыдущей строкой я написал, чтобы показать, как именно я выбирал последовательность. Нам осталось показать, что она является фундаментальной - предлагаю это сделать Вам.

Нам также нужно показать, что ни одно действительное число не является пределом этой последовательности относительно заданной метрики.

В самом деле, предположим, что найдётся элемент нашего метрического пространства - то есть некоторое действительное число a, которое является пределом нашей последовательности:
[math]\exists a = \lim_{n \to \infty}x_{n}[/math]
По определению сходимости последовательности в метрическом пространстве, это означает, что должно выполняться равенство:
[math]\lim_{n \to \infty}\rho(x_{n}, a) = 0[/math]
[math]\lim_{n \to \infty}\rho(n, a) = 0[/math]
[math]\lim_{n \to \infty}|arctgn - arctga| = 0[/math]
Но, если перейти к пределу по n (обычному пределу), то получим, что требуемое равенство можно переписать в виде:
[math]\lim_{n \to \infty}|\frac{ \pi }{ 2 } - arctga| = 0[/math], откуда должно выполняться равенство [math]arctga = \frac{ \pi }{ 2 }[/math], что невозможно на обычной действительной прямой.

Мы предъявили фундаментальную последовательность, которая, тем не менее, не сходится. Осталось решить, какими (двумя) элементами нужно дополнить исходное метрическое пространство, чтобы в нём любая фундаментальная последовательность была сходящейся.

Надеюсь, что моё решение правильное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Free Dreamer "Спасибо" сказали:
Asiria
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство не полноты метрического пространства
СообщениеДобавлено: 24 окт 2012, 16:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4106
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1815 раз в 1510 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильное, только, думаю, ТС уже оно не нужно, последнее сообщение в этой теме было написано 17 мая 2012.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство полноты/не полноты метрического пространтсва

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

babutch

2

295

14 ноя 2016, 02:25

Сепарабельное метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

SAVANTOS

3

383

27 май 2015, 19:59

Полнота метрического пространства

в форуме Численные методы

tanya_195

1

378

13 июн 2015, 10:59

Пополнение метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Pottfer

7

457

14 мар 2017, 19:52

Полнота метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Ann96

1

415

22 ноя 2015, 16:18

Полнота метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Asiria

15

224

09 фев 2020, 15:27

Найти пополнение метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

mugler02

1

571

24 дек 2013, 11:14

Показать полноту метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MNOPRST

1

392

18 апр 2015, 12:08

Проверить полноту метрического пространства X

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

JosephK

3

1234

09 мар 2012, 22:10

Как доказать полноту метрического пространства?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Morozy4

3

1389

13 июн 2013, 00:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved