Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Сепарабельность и полнота пространства - доказать
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=1597
Страница 1 из 1

Автор:  Atatushka [ 02 ноя 2010, 17:24 ]
Заголовок сообщения:  Сепарабельность и полнота пространства - доказать

Помогите пожалуйста: нужно доказать что данные пространства сепарабельные, полные.

1. Пространство [math]c^m[/math] столбцов [math]x=(x_k)_{k=1}^{m}[/math] ([math]x_k\in\R[/math] или [math]x_k\in\mathbb{C}[/math]) с нормой [math]\|x\|=\max\limits_{1\leqslant{k}\leqslant{m}}|x_k|[/math].

2. Пространство [math]l_2[/math] последовательностей [math]x=(x_1,x_2,\ldots)[/math] ([math]x_k\in\mathbb{R}[/math] или [math]x_k\in\mathbb{C}[/math]), удовлетворяющих условию [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty}|x_k|^2<\infty[/math], с нормой [math]\|x\|=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|x_k|^2}[/math].

3. Пространство [math]L_p[a;b][/math] непрерывных на [math][a;b][/math] функций с нормой [math]\|x\|=\!{\left(\int\limits_{a}^{b}|x(t)|\,dt\right)\!\!}^{1/p},~1\leqslant{p}<\infty[/math].

Автор:  Prokop [ 03 ноя 2010, 19:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сепарабельность и полнота пространства - доказать

Atatushka. Подробные решения первых двух задач ещё можно как-то изложить здесь, но решение третьей будет состоять из ссылок на теоремы теории функций вещественного переменного (едва ли это Вас устроит).
Могу рекомендовать книги, в которых есть ответы на почти все Ваши вопросы.
1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.
2. Колмогоров А.Н, Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.
4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.

P.S. Можно разобрать решение одной из задач.

Автор:  Atatushka [ 05 ноя 2010, 21:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сепарабельность и полнота пространства - доказать

Да, было бы неплохо разобрать решение. хотя бы основные идеи.

Автор:  Prokop [ 06 ноя 2010, 18:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сепарабельность и полнота пространства - доказать

1. Полнота следует из по координатной полноты (аксиома полноты множества вещественных чисел). В качестве сепарабельного всюду плотного множества возьмите множество точек с рациональными координатами.

2. Последовательность Коши ограничена. Отсюда получаем, что предельный элемент принадлежит [math]l_2[/math]. В качестве сепарабельного всюду плотного множества возьмите множество элементов с рациональными координатами.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/