Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 23 янв 2012, 21:57 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
30 мар 2011, 21:37
Сообщений: 99
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
5 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго Времени Суток!
В лекциях приведён пример связного, но не линейно связного множества.

Берётся график функции [math]\sin \frac{1}{x}[/math] и добавляется отрезок [math][ - 1,1][/math] на оси ординат. То, что получается - является связным множеством. Утверждается, что оно не линейно связное. Не могу понять почему. Вроде, добавив отрезок, мы покрыли начало координат. И теперь любые две точки можно связать непрерывной кривой.

Как доказать, что полученное множество не является линейно связным?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю LEQADA "Спасибо" сказали:
evgfreyman
 Заголовок сообщения: Re: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 23 янв 2012, 22:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разве можно соединить, например начало координат с точкой [math]\left( {\frac{1}{\pi },0} \right)[/math] непрерывной кривой?
Функция [math]\sin \frac{1}{x}[/math] имеет разрыв второго рода в нуле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
LEQADA
 Заголовок сообщения: Re: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 23 янв 2012, 22:36 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
30 мар 2011, 21:37
Сообщений: 99
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
5 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, ну дык мы же дополнили наш график отрезком [-1,1]. Теперь наш график не имеет разрывов. Нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 23 янв 2012, 23:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда какое значение у функции в нуле?
Надо говорить о топологии на этом множестве. Отрезок [math][-1,1][/math] появился как замыкание графика функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
LEQADA
 Заголовок сообщения: Re: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 23 янв 2012, 23:16 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
30 мар 2011, 21:37
Сообщений: 99
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
5 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, не понимаю причём здесь функция. Я думал, что функция нужна только для получения множества. Наш отрезок - множество точек с координатами в виде (0,-1) - (0,1).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 24 янв 2012, 15:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LEQADA
Да, график этой функции нужен для получения связного множества. Берётся его замыкание в обычной метрике [math]R_2[/math].
Если бы существовала непрерывная кривая, соединяющая точки [math]O(0,0)[/math] и [math]A\left( {\frac{1}{\pi },0} \right)[/math], то существовал бы предел (в обычной метрике) у функции [math]y = \sin \frac{1}{x}[/math] и он равнялся бы 0.
Можно иначе. Какая компонента связности у точки [math]O(0,0)[/math]? Она не содержит точку [math]A[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
LEQADA
 Заголовок сообщения: Re: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 24 янв 2012, 15:32 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
30 мар 2011, 21:37
Сообщений: 99
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
5 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, для чего нужен предел функции? Мы дополнили множество. Теперь нашему множеству не удовлетворяет функция (Нарушилась биекция). Это множество. Просто множество. А компонента связности у начала координат содержит всякую точку из множества. Наша функция бесконечно близко приближалась к нулю. Можно сказать, что она принимала все значения в её окрестности. Мы добавили точку ноль для полного счастья. Теперь соединяйте как душе угодно. Я туплю =/

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 24 янв 2012, 16:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LEQADA
Пусть существует непрерывная кривая от (0,0) до (x1,y1), где x1>0.
Так как для любого 0<x<=x1 должна существовать точка кривой с абсциссой x,
эта кривая проходит через все точки "синусоиды".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shaman "Спасибо" сказали:
LEQADA
 Заголовок сообщения: Re: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 24 янв 2012, 16:15 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
30 мар 2011, 21:37
Сообщений: 99
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
5 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shaman, Вы доказываете, что это линейно связное множество?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример связного, но не линейно связного множества
СообщениеДобавлено: 24 янв 2012, 16:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, конечно, просто привожу понятную мне аргументацию.
В данном случае понятно.

А вот следующее множество:
[math]M = \left( {x,x \cdot \sin {{\left( {\tfrac{1}{x}} \right)}^5}} \right) \cup (0,0)[/math]
Предельная точка (0,0), но длина кривой, как и в предыдущем случае, бесконечна.
Можно ли считать, что существует непрерывная кривая?
Ведь если да, то существует непрерывное отображение отрезка на эту кривую, но на компакте это отображение должно быть равномерно непрерывным и существование такого отображения легко опровергнуть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shaman "Спасибо" сказали:
LEQADA
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Линейно независимое подмножество множества функций?

в форуме Векторный анализ и Теория поля

adatter

8

376

27 дек 2021, 10:16

Линейно зависимые и линейно независимые ряды чисел

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Aisenidze

5

408

26 май 2015, 07:23

Узнать линейно зависимые или линейно независимые вектора

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

sergeykonar

2

195

03 май 2020, 15:26

Множества - привести пример

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

rovniy

7

1260

15 окт 2017, 16:58

Привести пример предкомпактного множества

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Frank Costello

5

868

02 май 2016, 17:21

Мера Жордана. Пример неизмеримого множества по Жордану

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

MAKSUS_87

1

895

12 июн 2014, 18:13

Линейно зависимые вектора

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

alex_kms

1

1236

26 апр 2015, 06:21

Линейно ограниченные операторы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

BringerLuck

1

85

21 янв 2024, 14:47

Линейно выраженые векторы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Mazekin

2

296

19 дек 2018, 19:19

Счётность множества всех подмножеств счетного множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Uebermarginal

4

110

08 фев 2024, 19:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved