Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 15:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 янв 2012, 14:47
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задана функция на интервале [-1;1]
Изображение
Найти для нее интеграл Лебега

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 15:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что обозначают в этой формуле квадратные скобки?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 15:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 янв 2012, 14:47
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Берется целая часть от функции

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 15:48 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно разбить область интегрирования на участки, на которых целая часть постоянна, и превратить тем самым интеграл в ряд.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 16:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посчитаем сначала интеграл на отрезке [0;1]
[math]F(t) = \left\{ \begin{gathered} 1,\left[ {{2^{ - 1/3}} < t < = 1} \right] \hfill \\ 2,\left[ {{3^{ - 1/3}} < t < = {2^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ k,\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}} < t < = {k^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
[math]\int\limits_0^1 {F(t)dt = \sum\limits_{k = 1}^\infty {k \cdot \left( {{k^{ - 1/3}} - {{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}}}\right)} } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{k^{2/3}}}}{{{{(k + 1)}^{1/3}}}}}[/math]
Интеграл не сходится, если я не ошибаюсь, проверьте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 16:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 янв 2012, 14:47
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shaman
Т.о следует что интеграл найти нельзя?
Не совсем понятно, как у вас получился последний ряд...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 17:05 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, я убегал и грубо ошибся, сейчас исправлюсь ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 20:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Смотрим на k-й член ряда:
[math]k \cdot \left( {{k^{ - 1/3}} - {{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}}} \right) = k \cdot \frac{{{{(k + 1)}^{1/3}} -{k^{1/3}}}}{{{k^{1/3}} \cdot {{(k + 1)}^{1/3}}}} > k \cdot \frac{{{k^{ - 2/3}}/3}}{{{k^{1/3}} \cdot {{(k + 1)}^{1/3}}}} = \frac{1}{{3 \cdot {{(k + 1)}^{1/3}}}}[/math]
А это ряд расходящийся.
Вывод: интеграл расходится.
Замечу: если где-то ошибка и интеграл сходится, то, принимая во внимание, что функция целой части считается нечётной, интеграл Лебега на [-1;1] равнялся бы нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 20:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shaman писал(а):
Посчитаем сначала интеграл на отрезке [0;1]
[math]F(t) = \left\{ \begin{gathered} 1,\left[ {{2^{ - 1/3}} < t < = 1} \right] \hfill \\ 2,\left[ {{3^{ - 1/3}} < t < = {2^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ k,\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}} < t < = {k^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
[math]\int\limits_0^1 {F(t)dt = \sum\limits_{k = 1}^\infty {k \cdot \left( {{k^{ - 1/3}} - {{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}}}\right)} } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{k^{2/3}}}}{{{{(k + 1)}^{1/3}}}}}[/math]
Интеграл не сходится, если я не ошибаюсь, проверьте.
Функция [math]F(t)[/math] посчитана неверно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
Shaman
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл Лебега
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 22:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
arkadiikirsanov
Конечно, неверно. Говорили же мне всегда: не спеши сдавать работу ))
[math]F(t) = \left\{ \begin{gathered} 1,\left[ {{2^{ - 1/3}} < t \leqslant 1} \right] \hfill \\ 1/2,\left[ {{3^{ - 1/3}} < t \leqslant {2^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ 1/k,\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}} < t \leqslant {k^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
[math]\int\limits_0^1 {F(t)dt = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k} \cdot \left( {{k^{ - 1/3}} - {{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}}} \right)} } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k} \cdot \frac{{{{(k + 1)}^{1/3}} - {k^{1/3}}}}{{{k^{1/3}} \cdot {{(k + 1)}^{1/3}}}}} < \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^{5/3}}}}}[/math]
Итак, интеграл сходится.
Посчитать его мне не удалось, численно получается около 0.32.
Однако, как я отмечал выше, целая часть - функция нечётная, поэтому интеграл на [-1;1] равен 0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shaman "Спасибо" сказали:
alejandro138, Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

WalkRigh

1

351

02 июл 2017, 20:49

Интеграл Лебега

в форуме Интегральное исчисление

Lucky721

1

333

25 дек 2014, 17:17

Интеграл Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

winmord

0

443

21 июн 2015, 04:24

Интеграл Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Math_girl

0

296

27 мар 2017, 21:15

Интеграл Лебега, метрика

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

imperceptible

6

662

03 янв 2017, 09:04

Найти интеграл Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MaksiMilian789

10

556

28 мар 2020, 16:24

Функциональный анализ. Интеграл Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

metakvalon

1

422

20 янв 2016, 21:57

Задачка из листка про интеграл Лебега

в форуме Интегральное исчисление

Jjvon

3

394

25 янв 2015, 19:07

Интеграл Лебега от функций со значениями в пространствах

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

wrobel

0

200

17 май 2022, 19:24

Функц.анализ,интеграл лебега и скалярное произведения

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

malysh1994

0

340

23 сен 2014, 09:05


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved