Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
alejandro138 |
|
|
Найти для нее интеграл Лебега |
||
Вернуться к началу | ||
Shaman |
|
|
А что обозначают в этой формуле квадратные скобки?
|
||
Вернуться к началу | ||
alejandro138 |
|
|
Берется целая часть от функции
|
||
Вернуться к началу | ||
arkadiikirsanov |
|
|
Нужно разбить область интегрирования на участки, на которых целая часть постоянна, и превратить тем самым интеграл в ряд.
|
||
Вернуться к началу | ||
Shaman |
|
|
Посчитаем сначала интеграл на отрезке [0;1]
[math]F(t) = \left\{ \begin{gathered} 1,\left[ {{2^{ - 1/3}} < t < = 1} \right] \hfill \\ 2,\left[ {{3^{ - 1/3}} < t < = {2^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ k,\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}} < t < = {k^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] [math]\int\limits_0^1 {F(t)dt = \sum\limits_{k = 1}^\infty {k \cdot \left( {{k^{ - 1/3}} - {{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}}}\right)} } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{k^{2/3}}}}{{{{(k + 1)}^{1/3}}}}}[/math] Интеграл не сходится, если я не ошибаюсь, проверьте. |
||
Вернуться к началу | ||
alejandro138 |
|
|
Shaman
Т.о следует что интеграл найти нельзя? Не совсем понятно, как у вас получился последний ряд... |
||
Вернуться к началу | ||
Shaman |
|
|
Да, я убегал и грубо ошибся, сейчас исправлюсь ...
|
||
Вернуться к началу | ||
Shaman |
|
|
Смотрим на k-й член ряда:
[math]k \cdot \left( {{k^{ - 1/3}} - {{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}}} \right) = k \cdot \frac{{{{(k + 1)}^{1/3}} -{k^{1/3}}}}{{{k^{1/3}} \cdot {{(k + 1)}^{1/3}}}} > k \cdot \frac{{{k^{ - 2/3}}/3}}{{{k^{1/3}} \cdot {{(k + 1)}^{1/3}}}} = \frac{1}{{3 \cdot {{(k + 1)}^{1/3}}}}[/math] А это ряд расходящийся. Вывод: интеграл расходится. Замечу: если где-то ошибка и интеграл сходится, то, принимая во внимание, что функция целой части считается нечётной, интеграл Лебега на [-1;1] равнялся бы нулю. |
||
Вернуться к началу | ||
arkadiikirsanov |
|
|
Shaman писал(а): Посчитаем сначала интеграл на отрезке [0;1] Функция [math]F(t)[/math] посчитана неверно.[math]F(t) = \left\{ \begin{gathered} 1,\left[ {{2^{ - 1/3}} < t < = 1} \right] \hfill \\ 2,\left[ {{3^{ - 1/3}} < t < = {2^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ k,\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}} < t < = {k^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] [math]\int\limits_0^1 {F(t)dt = \sum\limits_{k = 1}^\infty {k \cdot \left( {{k^{ - 1/3}} - {{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}}}\right)} } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{k^{2/3}}}}{{{{(k + 1)}^{1/3}}}}}[/math] Интеграл не сходится, если я не ошибаюсь, проверьте. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали: Shaman |
||
Shaman |
|
|
arkadiikirsanov
Конечно, неверно. Говорили же мне всегда: не спеши сдавать работу )) [math]F(t) = \left\{ \begin{gathered} 1,\left[ {{2^{ - 1/3}} < t \leqslant 1} \right] \hfill \\ 1/2,\left[ {{3^{ - 1/3}} < t \leqslant {2^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ 1/k,\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}} < t \leqslant {k^{ - 1/3}}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] [math]\int\limits_0^1 {F(t)dt = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k} \cdot \left( {{k^{ - 1/3}} - {{\left( {k + 1} \right)}^{ - 1/3}}} \right)} } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k} \cdot \frac{{{{(k + 1)}^{1/3}} - {k^{1/3}}}}{{{k^{1/3}} \cdot {{(k + 1)}^{1/3}}}}} < \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^{5/3}}}}}[/math] Итак, интеграл сходится. Посчитать его мне не удалось, численно получается около 0.32. Однако, как я отмечал выше, целая часть - функция нечётная, поэтому интеграл на [-1;1] равен 0. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shaman "Спасибо" сказали: alejandro138, Alexdemath |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |