Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=1105 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Metrika [ 30 авг 2010, 01:30 ] |
Заголовок сообщения: | Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве |
Помогите с функциональным анализом, надо уже в начале сентября показать преподу, а я так и не разобралась, как решить это задание: Являются ли эквивалентными метрики [math]\rho_1[/math] и [math]\rho_2[/math], определенные на множестве, если: а) [math]X=\mathbb{R},~\rho_1(x;y)=\arctan|x-y|,~\rho_2(x;y)=|x-y|[/math]; б) [math]X[/math] - совокупность всех многочленов степени [math]n[/math], определенных на [math][0;1][/math] и [math]\begin{gathered}\forall\left(P(t)=\sum\limits_{k=0}^n\alpha_kt^k\in{X},~Q(t)=\sum\limits_{k=0}^n\beta_kt^k\in{X}\right)\\\rho_1(P;Q)=\mathop{\max}\limits_{t\in[0;1]}|P(t)-Q(t)|,~\rho_2(P;Q)=\sum\limits_{k=0}^n|\alpha_k-\beta_k|\\\end{gathered}[/math] в) [math]X=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),~\rho_1(x;y)=|x-y|,~\rho_2(x;y)=|\tan{x}-\tan{y}|[/math]. Буду очень благодарна за любую помощь! |
Автор: | Prokop [ 30 авг 2010, 21:47 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве |
В задачах а) и в) надо доказать эквивалентность баз топологий. Например, в задаче а) в качестве базы второй топологии можно взять семейство открытых промежутков длины меньшей 1. Из неравенств [math]\frac{2}{3}\left|{x-y}\right|\leqslant\arctan\left|{x-y}\right|\leqslant\left|{x-y}\right|[/math] при [math]\left|{x-y}\right|<1[/math], следует что эта база эквивалентна базе открытых промежутков расстояние между концами которых меньше 1 в первой метрике. В задаче б) можно заметить, что метрики определяются нормами в конечномерном пространстве. Но все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны. |
Автор: | Metrika [ 17 окт 2010, 17:19 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве |
Prokop, огромное спасибо! То есть в задаче б) я могу просто написать, что очевидно метрики задаются в конечномерном пространстве, и сослаться на теорему Рисса? Извините за наглость, а Вы не могли бы показать подробно решение задачи в)? |
Автор: | Prokop [ 18 окт 2010, 13:12 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве |
В задаче в) можно "нагло" заявить, что функция tan и arctan - непрерывные взаимно обратные функции. Поэтому открытые множества в этих метриках совпадают. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |