Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=1105
Страница 1 из 1

Автор:  Metrika [ 30 авг 2010, 01:30 ]
Заголовок сообщения:  Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве

Помогите с функциональным анализом, надо уже в начале сентября показать преподу, а я так и не разобралась, как решить это задание:

Являются ли эквивалентными метрики [math]\rho_1[/math] и [math]\rho_2[/math], определенные на множестве, если:

а) [math]X=\mathbb{R},~\rho_1(x;y)=\arctan|x-y|,~\rho_2(x;y)=|x-y|[/math];

б) [math]X[/math] - совокупность всех многочленов степени [math]n[/math], определенных на [math][0;1][/math] и

[math]\begin{gathered}\forall\left(P(t)=\sum\limits_{k=0}^n\alpha_kt^k\in{X},~Q(t)=\sum\limits_{k=0}^n\beta_kt^k\in{X}\right)\\\rho_1(P;Q)=\mathop{\max}\limits_{t\in[0;1]}|P(t)-Q(t)|,~\rho_2(P;Q)=\sum\limits_{k=0}^n|\alpha_k-\beta_k|\\\end{gathered}[/math]

в) [math]X=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),~\rho_1(x;y)=|x-y|,~\rho_2(x;y)=|\tan{x}-\tan{y}|[/math].

Буду очень благодарна за любую помощь!

Автор:  Prokop [ 30 авг 2010, 21:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве

В задачах а) и в) надо доказать эквивалентность баз топологий.
Например, в задаче а) в качестве базы второй топологии можно взять семейство открытых промежутков длины меньшей 1. Из неравенств
[math]\frac{2}{3}\left|{x-y}\right|\leqslant\arctan\left|{x-y}\right|\leqslant\left|{x-y}\right|[/math]
при [math]\left|{x-y}\right|<1[/math], следует что эта база эквивалентна базе открытых промежутков расстояние между концами которых меньше 1 в первой метрике.
В задаче б) можно заметить, что метрики определяются нормами в конечномерном пространстве. Но все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны.

Автор:  Metrika [ 17 окт 2010, 17:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве

Prokop, огромное спасибо!

То есть в задаче б) я могу просто написать, что очевидно метрики задаются в конечномерном пространстве, и сослаться на теорему Рисса?

Извините за наглость, а Вы не могли бы показать подробно решение задачи в)?

Автор:  Prokop [ 18 окт 2010, 13:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве

В задаче в) можно "нагло" заявить, что функция tan и arctan - непрерывные взаимно обратные функции. Поэтому открытые множества в этих метриках совпадают.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/