Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Metrika |
|
|
Являются ли эквивалентными метрики [math]\rho_1[/math] и [math]\rho_2[/math], определенные на множестве, если: а) [math]X=\mathbb{R},~\rho_1(x;y)=\arctan|x-y|,~\rho_2(x;y)=|x-y|[/math]; б) [math]X[/math] - совокупность всех многочленов степени [math]n[/math], определенных на [math][0;1][/math] и [math]\begin{gathered}\forall\left(P(t)=\sum\limits_{k=0}^n\alpha_kt^k\in{X},~Q(t)=\sum\limits_{k=0}^n\beta_kt^k\in{X}\right)\\\rho_1(P;Q)=\mathop{\max}\limits_{t\in[0;1]}|P(t)-Q(t)|,~\rho_2(P;Q)=\sum\limits_{k=0}^n|\alpha_k-\beta_k|\\\end{gathered}[/math] в) [math]X=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),~\rho_1(x;y)=|x-y|,~\rho_2(x;y)=|\tan{x}-\tan{y}|[/math]. Буду очень благодарна за любую помощь! |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
В задачах а) и в) надо доказать эквивалентность баз топологий.
Например, в задаче а) в качестве базы второй топологии можно взять семейство открытых промежутков длины меньшей 1. Из неравенств [math]\frac{2}{3}\left|{x-y}\right|\leqslant\arctan\left|{x-y}\right|\leqslant\left|{x-y}\right|[/math] при [math]\left|{x-y}\right|<1[/math], следует что эта база эквивалентна базе открытых промежутков расстояние между концами которых меньше 1 в первой метрике. В задаче б) можно заметить, что метрики определяются нормами в конечномерном пространстве. Но все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Metrika |
||
Metrika |
|
|
Prokop, огромное спасибо!
То есть в задаче б) я могу просто написать, что очевидно метрики задаются в конечномерном пространстве, и сослаться на теорему Рисса? Извините за наглость, а Вы не могли бы показать подробно решение задачи в)? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
В задаче в) можно "нагло" заявить, что функция tan и arctan - непрерывные взаимно обратные функции. Поэтому открытые множества в этих метриках совпадают.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |