Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве
СообщениеДобавлено: 30 авг 2010, 01:30 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 апр 2010, 10:38
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите с функциональным анализом, надо уже в начале сентября показать преподу, а я так и не разобралась, как решить это задание:

Являются ли эквивалентными метрики [math]\rho_1[/math] и [math]\rho_2[/math], определенные на множестве, если:

а) [math]X=\mathbb{R},~\rho_1(x;y)=\arctan|x-y|,~\rho_2(x;y)=|x-y|[/math];

б) [math]X[/math] - совокупность всех многочленов степени [math]n[/math], определенных на [math][0;1][/math] и

[math]\begin{gathered}\forall\left(P(t)=\sum\limits_{k=0}^n\alpha_kt^k\in{X},~Q(t)=\sum\limits_{k=0}^n\beta_kt^k\in{X}\right)\\\rho_1(P;Q)=\mathop{\max}\limits_{t\in[0;1]}|P(t)-Q(t)|,~\rho_2(P;Q)=\sum\limits_{k=0}^n|\alpha_k-\beta_k|\\\end{gathered}[/math]

в) [math]X=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),~\rho_1(x;y)=|x-y|,~\rho_2(x;y)=|\tan{x}-\tan{y}|[/math].

Буду очень благодарна за любую помощь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве
СообщениеДобавлено: 30 авг 2010, 21:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В задачах а) и в) надо доказать эквивалентность баз топологий.
Например, в задаче а) в качестве базы второй топологии можно взять семейство открытых промежутков длины меньшей 1. Из неравенств
[math]\frac{2}{3}\left|{x-y}\right|\leqslant\arctan\left|{x-y}\right|\leqslant\left|{x-y}\right|[/math]
при [math]\left|{x-y}\right|<1[/math], следует что эта база эквивалентна базе открытых промежутков расстояние между концами которых меньше 1 в первой метрике.
В задаче б) можно заметить, что метрики определяются нормами в конечномерном пространстве. Но все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Metrika
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве
СообщениеДобавлено: 17 окт 2010, 17:19 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 апр 2010, 10:38
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, огромное спасибо!

То есть в задаче б) я могу просто написать, что очевидно метрики задаются в конечномерном пространстве, и сослаться на теорему Рисса?

Извините за наглость, а Вы не могли бы показать подробно решение задачи в)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве
СообщениеДобавлено: 18 окт 2010, 13:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В задаче в) можно "нагло" заявить, что функция tan и arctan - непрерывные взаимно обратные функции. Поэтому открытые множества в этих метриках совпадают.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Эквивалентные метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Free Dreamer

1

433

20 мар 2013, 01:32

Две метрики порождают одну и туже топологию на множестве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

_Sasha_

2

293

27 июн 2018, 15:24

Доказать равномерную непрерывность на заданном множестве

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vihuhol

2

383

02 июн 2013, 21:08

Проверка метрики на l1

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

uriy

4

580

04 апр 2015, 14:20

Эквивалентность метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

DucAnh456

0

113

06 окт 2018, 03:23

Неравенство треугольника для энергетической метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

sgaybaryan

3

233

27 окт 2019, 10:46

Определить полноту метрики: есть она или нет?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Annakerr

1

340

19 янв 2014, 23:28

Для метрики найти длины сторон, внутренние углы и площадь

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Aizh

2

596

10 мар 2013, 15:27

Эквивалентные б.м

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sfanter

8

245

27 янв 2016, 08:41

Эквивалентные функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

qwark

8

238

10 мар 2018, 11:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved