Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 17 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
zazu |
|
||
[math]21x^2- 10\sqrt 3\,xy + 31y^2 + (32\sqrt 3 + 36)x + (32 - 36\sqrt 3 )y - 44 = 0[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
Смотрите здесь http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-uravneniya-linii-k-kanonicheskomu-vidu
подробные указания, как привести уравнение 2-го порядка к каноническому виду. zazu писал(а): преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка выполнив последовательно поворот и параллельный перенос координатных осей. построить кривую в исходной системе координат и найти ее параметры [math]21x^2- 10\sqrt 3\,xy + 31y^2 + (32\sqrt 3 + 36)x + (32 - 36\sqrt 3 )y - 44 = 0[/math] Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением кривой второго порядка [math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0,[/math] находим коэффициенты [math]a_{11}= 21,\quad 2a_{12}=-10\sqrt3,\quad a_{22}=31,\quad 2a_1=32\sqrt3+36,\quad 2a_2=32-36\sqrt3,\quad a_0=-44.[/math] Поскольку в заданном уравнении имеется произведение неизвестных [math](a_{12}=-5\sqrt{3}\ne0)[/math], поэтому необходимо сделать поворот системы координат на угол [math]\varphi~\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)[/math] [math]\operatorname{ctg}2\varphi= \frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}= \frac{21 - 31}{- 10\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3}\quad \Rightarrow\quad \varphi =\frac{\pi}{6}[/math] Делаем поворот системы координат на найденный угол: [math]\left\{\!\begin{gathered}x = x'\cos \varphi - y'\sin \varphi = x'\cos \frac{\pi}{6} - y'\sin \frac{\pi }{6} = \frac{\sqrt 3}{2}\,x' - \frac{1}{2}\,y', \hfill \\ y = x'\sin \varphi + y'\cos \varphi = x'\sin\frac{\pi }{6} + y'\cos \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\,x' + \frac{\sqrt3}{2}\,y'. \hfill\end{gathered}\right.[/math] Соответственно, делаем замену координат: [math]\begin{aligned}21&\left(\frac{\sqrt 3}{2}\,x' - \frac{1}{2}\,y' \right)^2- 10\sqrt 3 \left(\frac{\sqrt 3 }{2}\,x' - \frac{1}{2}\,y' \right)\left(\frac{1}{2}\,x' + \frac{\sqrt 3 }{2}\,y' \right) + 31\left(\frac{1}{2}\,x' + \frac{\sqrt 3 }{2}\,y' \right)^2 +\\ &+\,(32\sqrt 3 + 36)\left(\frac{\sqrt 3 }{2}\,x' - \frac{1}{2}\,y' \right) + (32 - 36\sqrt 3 )\left(\frac{1}{2}\,x' + \frac{\sqrt 3}{2}\,y' \right) - 44 = 0 \end{aligned}[/math] Или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов [math]4(x')^2 + 9(y')^2 + 16x' - 18y' - 11 = 0[/math] "Уничтожим" линейные члены, выделяя полные квадраты: [math]\begin{gathered} 4(x')^2 + 16x' + 16 + 9(y')^2 - 18y' + 9 - 11 - 16 - 9 = 0, \hfill \\ (2x' + 4)^2 + (3y' - 3)^2 - 36 = 0, \hfill \\ 4(x' + 2)^2 + 9(y' - 1)^2 = 36, \hfill \\ \frac{(x' + 2)^2}{3^2} + \frac{(y' - 1)^2}{2^2} = 1. \hfill \end{gathered}[/math] Таким образом, получили уравнение эллипса со смещённым центром. После замены [math]\begin{cases}x'' = x' + 2,\\y'' = y' - 1\end{cases}[/math] или, выражая старые координаты через новые [math]\begin{cases}x' = x'' - 2,\\y' = y'' + 1,\end{cases}[/math] окончательно получаем каноническое уравнение эллипса: [math]\frac{(x'')^2}{3^2} + \frac{(y'')^2}{2^2} = 1.[/math] Сделаем чертёж к задаче У Вас в задании ещё сказано найти параметры кривой. Посмотрите здесь static.php?p=ellips как по коэффициентам уравнения эллипса определить его параметры (легко!). Также смотрите ниже преобразование уравнения гиперболы к каноническому виду.
|
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Hagrael, mad_math, pewpimkin, valentina |
|||
spark67 |
|
|
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением кривой второго порядка
[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0,[/math] находим коэффициенты [math]a_{11}=-1,\quad a_{22}=-1,\quad 2a_{12}=4,\quad 2a_1=2,\quad 2a_2=-4,\quad a_0=1.[/math] Поскольку в заданном уравнении имеется произведение неизвестных [math](a_{12}=2\ne0)[/math], поэтому необходимо сделать поворот системы координат на угол [math]\alpha~\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)[/math] [math]\operatorname{ctg} 2\alpha= \frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}= \frac{-1-(-1)}{4}=0\quad \Rightarrow\quad 2\alpha=\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow\quad \alpha=\frac{\pi}{4}\,.[/math] Делаем поворот системы координат на величину найденного угла [math]\alpha[/math]: [math]\left\{\!\begin{gathered}x = x_1\cos \alpha - y_1\sin \alpha = x_1\cos \frac{\pi}{4} - y_1\sin \frac{\pi}{4} = \frac{x_1}{\sqrt 2} - \frac{y_1}{\sqrt2},\hfill\\ y = x_1\sin \alpha + y_1\cos \alpha = {x_1}\sin \frac{\pi }{4} + {y_1}\cos \frac{\pi }{4} = \frac{x_1}{\sqrt 2} + \frac{y_1}{\sqrt 2}.\hfill\end{gathered}\right.[/math] Соответственно, cделаем замену координат: [math]-{\left(\frac{x_1}{\sqrt 2} - \frac{y_1}{\sqrt 2} \right)\!}^2 - {\left(\frac{x_1}{\sqrt2} + \frac{y_1}{\sqrt 2} \right)\!}^2+ 4\!\left(\frac{x_1}{\sqrt 2} - \frac{y_1}{\sqrt 2} \right)\!\!\left(\frac{x_1}{\sqrt 2} + \frac{y_1}{\sqrt 2} \right)\!+ 2\!\left(\frac{x_1}{\sqrt 2} - \frac{y_1}{\sqrt 2}\right)\!- 4\!\left(\frac{x_1}{\sqrt2}+ \frac{y_1}{\sqrt2}\right)\!+1=0[/math] Или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, [math]x_1^2-3y_1^2-x_1\sqrt2-3y_1\sqrt2+1=0[/math] "Уничтожим" линейные члены, выделяя полные квадраты: [math]\begin{gathered}x_1^2-x_1\sqrt2+ {\left(\frac{1}{\sqrt2} \right)\!}^2 - 3y_1^2 - 3y_1\sqrt2 - 3{\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)\!}^2+ 1 - {\left(\frac{1}{\sqrt2} \right)\!}^2+ 3{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\!}^2= 0\hfill\\ {\left(x_1-\frac{1}{\sqrt2}\right)\!}^2 - 3{\left(y_1+\frac{1}{\sqrt 2}\right)\!}^2=-2,\hfill\\ -\frac{1}{\left(\sqrt2\right)^2}{\left(x_1- \frac{1}{\sqrt2}\right)\!}^2 + \frac{1}{\left(\frac{\sqrt 6}{3} \right)^2}{\left(y_1+\frac{1}{\sqrt2}\right)\!}^2=1\hfill\end{gathered}[/math] Итак, получили уравнение гиперболы со смещённым центром. После замены [math]\left\{\! \begin{gathered}x_2 = y_1 + \frac{1}{\sqrt2},\hfill\\ y_2 = x_1 - \frac{1}{\sqrt2}\hfill\end{gathered}\right.[/math] или, выражая старые координаты через новые [math]\left\{\! \begin{gathered} y_1 =x_2-\frac{1}{\sqrt2},\hfill\\ x_1= y_2 + \frac{1}{\sqrt2},\hfill\end{gathered}\right.[/math] окончательно получаем каноническое уравнение гиперболы: [math]\frac{x_2^2}{\left(\frac{\sqrt 6}{3}\right)^2} - \frac{y_2^2}{\left(\sqrt2 \right)^2}=1[/math].Сделаем чертёж к задаче: |
||
Вернуться к началу | ||
slavashat |
|
|
помогите решить :
Преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка выполнив последовательно поворот и параллельный перенос координатных осей. построить кривую в исходной системе координат и найти ее параметры [math]11{x^2}- 10\sqrt 3 xy +{y^2}+ (32\sqrt 3 - 12)x - (12\sqrt 3 + 32)y + 44 = 0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
||
slavashat, для начала сравните Ваше уравнение с общим уравнением
[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0,[/math] и напишите, чему равны коэффициенты. Также вычислите угол поворота. Пример здесь http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=38093#p38093 |
|||
Вернуться к началу | |||
slavashat |
|
|
[math]\operatorname{ctg}2\alpha = \frac{{{a_{11}}-{a_{22}}}}{{2{a_{12}}}}= \frac{{11 - 1}}{{- 10\sqrt 3}}= - \frac{1}{{\sqrt 3}}\Rightarrow a = - \frac{\pi}{6}[/math] правильно? а то что-то я закис над решением
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
slavashat писал(а): [math]\operatorname{ctg}2\alpha = \frac{{{a_{11}}-{a_{22}}}}{{2{a_{12}}}}= \frac{{11 - 1}}{{- 10\sqrt 3}}= - \frac{1}{{\sqrt 3}}\Rightarrow a = - \frac{\pi}{6}[/math] правильно? а то что-то я закис над решением Верно. Теперь вычислите [math]\sin \frac{\pi}{6},~ \cos \frac{\pi}{6}[/math] и найдите [math]\left\{\!\begin{gathered}x = x'\cos \varphi - y'\sin \varphi = x'\cos \frac{\pi}{6} - y'\sin \frac{\pi }{6} = \ldots, \hfill \\ y = x'\sin \varphi + y'\cos \varphi = x'\sin\frac{\pi }{6} + y'\cos \frac{\pi }{6} = \ldots. \hfill\end{gathered}\right.[/math] подставьте в уравнение и упростите его (раскрыть скобки и привести подобные). |
||
Вернуться к началу | ||
zKncnv |
|
||
Alexdemath
в каком сервисе сделать подобный график? есть квп, нужно на графике показать две системы координат- параллельный перенос, но нигде такой функции не могу найти. сервис mathhelpplanet тоже такой не обладает. |
|||
Вернуться к началу | |||
MihailM |
|
||
zKncnv, а где вы просто графики рисуете?
|
|||
Вернуться к началу | |||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 17 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Преобразование уравнения кривой к каноническому виду использ | 2 |
343 |
16 мар 2022, 12:46 |
|
Приведение кривой к каноническому виду | 1 |
224 |
16 май 2020, 16:07 |
|
Привести уравнение кривой к каноническому виду | 3 |
485 |
22 дек 2015, 10:39 |
|
Перевести уравнение кривой к каноническому виду | 1 |
387 |
22 янв 2016, 13:27 |
|
Привести уравнение кривой к каноническому виду | 3 |
394 |
28 ноя 2018, 22:01 |
|
Приведение ур. кривой 2-ого порядка к каноническому виду | 15 |
543 |
07 окт 2020, 21:54 |
|
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду | 18 |
1305 |
24 фев 2015, 15:42 |
|
Приведения кривой второго порядка к каноническому виду | 2 |
159 |
24 дек 2022, 21:07 |
|
Привести уравнение кривой 2 порядка в каноническому виду
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
1594 |
06 июн 2015, 00:56 |
|
Привести уравнение кривой 2го порядка к каноническому виду | 2 |
1371 |
14 апр 2014, 17:56 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |