Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Преобразование к каноническому виду уравнения кривой 2-го
СообщениеДобавлено: 05 окт 2011, 15:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 сен 2011, 23:01
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка выполнив последовательно поворот и параллельный перенос координатных осей. построить кривую в исходной системе координат и найти ее параметры

[math]21x^2- 10\sqrt 3\,xy + 31y^2 + (32\sqrt 3 + 36)x + (32 - 36\sqrt 3 )y - 44 = 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразование к каноническому виду уравнения кривой
СообщениеДобавлено: 06 окт 2011, 12:20 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Смотрите здесь http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-uravneniya-linii-k-kanonicheskomu-vidu
подробные указания, как привести уравнение 2-го порядка к каноническому виду.

zazu писал(а):
преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка выполнив последовательно поворот и параллельный перенос координатных осей. построить кривую в исходной системе координат и найти ее параметры
[math]21x^2- 10\sqrt 3\,xy + 31y^2 + (32\sqrt 3 + 36)x + (32 - 36\sqrt 3 )y - 44 = 0[/math]

Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением кривой второго порядка

[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0,[/math]


находим коэффициенты

[math]a_{11}= 21,\quad 2a_{12}=-10\sqrt3,\quad a_{22}=31,\quad 2a_1=32\sqrt3+36,\quad 2a_2=32-36\sqrt3,\quad a_0=-44.[/math]


Поскольку в заданном уравнении имеется произведение неизвестных [math](a_{12}=-5\sqrt{3}\ne0)[/math], поэтому необходимо сделать поворот системы координат на угол [math]\varphi~\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)[/math]

[math]\operatorname{ctg}2\varphi= \frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}= \frac{21 - 31}{- 10\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3}\quad \Rightarrow\quad \varphi =\frac{\pi}{6}[/math]


Делаем поворот системы координат на найденный угол:

[math]\left\{\!\begin{gathered}x = x'\cos \varphi - y'\sin \varphi = x'\cos \frac{\pi}{6} - y'\sin \frac{\pi }{6} = \frac{\sqrt 3}{2}\,x' - \frac{1}{2}\,y', \hfill \\ y = x'\sin \varphi + y'\cos \varphi = x'\sin\frac{\pi }{6} + y'\cos \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\,x' + \frac{\sqrt3}{2}\,y'. \hfill\end{gathered}\right.[/math]


Соответственно, делаем замену координат:

[math]\begin{aligned}21&{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,x' - \frac{1}{2}\,y'} \right)^2- 10\sqrt 3 \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,x' - \frac{1}{2}\,y'} \right)\left( {\frac{1}{2}\,x' + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,y'} \right) + 31{\left( {\frac{1}{2}\,x' + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,y'} \right)^2} +\\ &+\,(32\sqrt 3 + 36)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,x' - \frac{1}{2}\,y'} \right) + (32 - 36\sqrt 3 )\left( {\frac{1}{2}\,x' + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,y'} \right) - 44 = 0 \end{aligned}[/math]


Или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов

[math]4(x')^2 + 9(y')^2 + 16x' - 18y' - 11 = 0[/math]


"Уничтожим" линейные члены, выделяя полные квадраты:

[math]\begin{gathered} 4(x')^2 + 16x' + 16 + 9(y')^2 - 18y' + 9 - 11 - 16 - 9 = 0, \hfill \\ (2x' + 4)^2 + (3y' - 3)^2 - 36 = 0, \hfill \\ 4(x' + 2)^2 + 9(y' - 1)^2 = 36, \hfill \\ \frac{(x' + 2)^2}{3^2} + \frac{(y' - 1)^2}{2^2} = 1. \hfill \end{gathered}[/math]


Таким образом, получили уравнение эллипса со смещённым центром. После замены [math]\begin{cases}x'' = x' + 2,\\y'' = y' - 1\end{cases}[/math] или, выражая старые координаты через новые [math]\begin{cases}x' = x'' - 2,\\y' = y'' + 1,\end{cases}[/math] окончательно получаем каноническое уравнение эллипса:

[math]\frac{(x'')^2}{3^2} + \frac{(y'')^2}{2^2} = 1.[/math]


Сделаем чертёж к задаче

Преобразование уравнения эллипса к каноническому виду


У Вас в задании ещё сказано найти параметры кривой. Посмотрите здесь static.php?p=ellips как по коэффициентам уравнения эллипса определить его параметры (легко!).

Также смотрите ниже преобразование уравнения гиперболы к каноническому виду.


Последний раз редактировалось Alexdemath 28 янв 2013, 21:26, всего редактировалось 4 раз(а).
Исправил чертёж

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math, pewpimkin, Vadim Shlovikov, valentina
 Заголовок сообщения: Исследовать кривую второго порядка и построить её
СообщениеДобавлено: 06 окт 2011, 19:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 сен 2011, 16:31
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Условие: исследовать кривую второго порядка (привести к каноническому виду?) и построить её.
Помогите как дальше....а то нам сегодня задали, а завтра уже сдавать

Вложение:
img140 коррекция.jpg
img140 коррекция.jpg [ 324.65 Кб | Просмотров: 351 ]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: не получается дальше решить уравнение второго порядка
СообщениеДобавлено: 07 окт 2011, 01:34 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением кривой второго порядка

[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0,[/math]


находим коэффициенты

[math]a_{11}=-1,\quad a_{22}=-1,\quad 2a_{12}=4,\quad 2a_1=2,\quad 2a_2=-4,\quad a_0=1.[/math]


Поскольку в заданном уравнении имеется произведение неизвестных [math](a_{12}=2\ne0)[/math], поэтому необходимо сделать поворот системы координат на угол [math]\alpha~\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)[/math]

[math]\operatorname{ctg} 2\alpha= \frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}= \frac{-1-(-1)}{4}=0\quad \Rightarrow\quad 2\alpha=\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow\quad \alpha=\frac{\pi}{4}\,.[/math]


Делаем поворот системы координат на величину найденного угла [math]\alpha[/math]:

[math]\left\{\!\begin{gathered}x = x_1\cos \alpha - y_1\sin \alpha = x_1\cos \frac{\pi}{4} - y_1\sin \frac{\pi}{4} = \frac{x_1}{\sqrt 2} - \frac{y_1}{\sqrt2},\hfill\\ y = x_1\sin \alpha + y_1\cos \alpha = {x_1}\sin \frac{\pi }{4} + {y_1}\cos \frac{\pi }{4} = \frac{x_1}{\sqrt 2} + \frac{y_1}{\sqrt 2}.\hfill\end{gathered}\right.[/math]


Соответственно, cделаем замену координат:

[math]-{\left(\frac{x_1}{\sqrt 2} - \frac{y_1}{\sqrt 2} \right)\!}^2 - {\left(\frac{x_1}{\sqrt2} + \frac{y_1}{\sqrt 2} \right)\!}^2+ 4\!\left(\frac{x_1}{\sqrt 2} - \frac{y_1}{\sqrt 2} \right)\!\!\left(\frac{x_1}{\sqrt 2} + \frac{y_1}{\sqrt 2} \right)\!+ 2\!\left(\frac{x_1}{\sqrt 2} - \frac{y_1}{\sqrt 2}\right)\!- 4\!\left(\frac{x_1}{\sqrt2}+ \frac{y_1}{\sqrt2}\right)\!+1=0[/math]


Или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,

[math]x_1^2-3y_1^2-x_1\sqrt2-3y_1\sqrt2+1=0[/math]


"Уничтожим" линейные члены, выделяя полные квадраты:

[math]\begin{gathered}x_1^2-x_1\sqrt2+ {\left(\frac{1}{\sqrt2} \right)\!}^2 - 3y_1^2 - 3y_1\sqrt2 - 3{\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)\!}^2+ 1 - {\left(\frac{1}{\sqrt2} \right)\!}^2+ 3{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\!}^2= 0\hfill\\ {\left(x_1-\frac{1}{\sqrt2}\right)\!}^2 - 3{\left(y_1+\frac{1}{\sqrt 2}\right)\!}^2=-2,\hfill\\ -\frac{1}{\left(\sqrt2\right)^2}{\left(x_1- \frac{1}{\sqrt2}\right)\!}^2 + \frac{1}{\left(\frac{\sqrt 6}{3} \right)^2}{\left(y_1+\frac{1}{\sqrt2}\right)\!}^2=1\hfill\end{gathered}[/math]

Итак, получили уравнение гиперболы со смещённым центром. После замены [math]\left\{\! \begin{gathered}x_2 = y_1 + \frac{1}{\sqrt2},\hfill\\ y_2 = x_1 - \frac{1}{\sqrt2}\hfill\end{gathered}\right.[/math] или, выражая старые координаты через новые [math]\left\{\! \begin{gathered} y_1 =x_2-\frac{1}{\sqrt2},\hfill\\ x_1= y_2 + \frac{1}{\sqrt2},\hfill\end{gathered}\right.[/math] окончательно получаем каноническое уравнение гиперболы: [math]\frac{x_2^2}{\left(\frac{\sqrt 6}{3}\right)^2} - \frac{y_2^2}{\left(\sqrt2 \right)^2}=1[/math].

Сделаем чертёж к задаче:

Преобразование уравнения гиперболы к каноническому виду


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразование к каноническому виду уравнения кривой 2-го
СообщениеДобавлено: 06 ноя 2013, 23:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 ноя 2013, 22:23
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
помогите решить :

Преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка выполнив последовательно поворот и параллельный перенос координатных осей. построить кривую в исходной системе координат и найти ее параметры

[math]11{x^2}- 10\sqrt 3 xy +{y^2}+ (32\sqrt 3 - 12)x - (12\sqrt 3 + 32)y + 44 = 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразование к каноническому виду уравнения кривой 2-го
СообщениеДобавлено: 07 ноя 2013, 00:54 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slavashat, для начала сравните Ваше уравнение с общим уравнением

[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0,[/math] и напишите, чему равны коэффициенты.

Также вычислите угол поворота.
Пример здесь http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=38093#p38093

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразование к каноническому виду уравнения кривой 2-го
СообщениеДобавлено: 07 ноя 2013, 22:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 ноя 2013, 22:23
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\operatorname{ctg}2\alpha = \frac{{{a_{11}}-{a_{22}}}}{{2{a_{12}}}}= \frac{{11 - 1}}{{- 10\sqrt 3}}= - \frac{1}{{\sqrt 3}}\Rightarrow a = - \frac{\pi}{6}[/math] правильно? а то что-то я закис над решением

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразование к каноническому виду уравнения кривой 2-го
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 00:58 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slavashat писал(а):
[math]\operatorname{ctg}2\alpha = \frac{{{a_{11}}-{a_{22}}}}{{2{a_{12}}}}= \frac{{11 - 1}}{{- 10\sqrt 3}}= - \frac{1}{{\sqrt 3}}\Rightarrow a = - \frac{\pi}{6}[/math] правильно? а то что-то я закис над решением

Верно. Теперь вычислите [math]\sin \frac{\pi}{6},~ \cos \frac{\pi}{6}[/math] и найдите

[math]\left\{\!\begin{gathered}x = x'\cos \varphi - y'\sin \varphi = x'\cos \frac{\pi}{6} - y'\sin \frac{\pi }{6} = \ldots, \hfill \\ y = x'\sin \varphi + y'\cos \varphi = x'\sin\frac{\pi }{6} + y'\cos \frac{\pi }{6} = \ldots. \hfill\end{gathered}\right.[/math]


подставьте в уравнение и упростите его (раскрыть скобки и привести подобные).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Преобразование к каноническому виду уравнения кривой 2-го

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

qutery

1

608

23 сен 2013, 17:52

Преобразование к каноническому виду поверхности 2-го порядка

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Vlad0777

2

451

24 ноя 2011, 00:38

Привести к каноническому виду с ортогональным преобразование

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Kadafi

0

959

18 дек 2011, 02:21

Уравнение кривой к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

FunDoren

3

325

18 дек 2013, 03:56

Привести к каноническому виду уравнение кривой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kogenate

0

384

20 ноя 2013, 13:20

Привести кривой 2го порядка к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kondrat

6

533

07 янв 2012, 19:34

Привести уравнение кривой к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Quboor

3

192

22 дек 2015, 11:39

Перевести уравнение кривой к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

lllulll

1

135

22 янв 2016, 14:27

Привести уравнение кривой к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

dantek

1

740

26 ноя 2011, 03:12

Привести уравнение кривой к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

mashkama

1

630

18 дек 2012, 17:27


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 38


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved