Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 33 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Nova |
|
|
Ну да ладно. Есть длины противоположных углам сторон трёх треугольников. Такая простая и в тоже время сложная задача. В пространстве дано: точка S (Vector3) - центр камеры обскура = (0,0,0); Три неизвестные точки в пространстве, образующие треугольник. ABC. Известны длины сторон AB, BC, AC. Углы ASB, ASC, BSC. ▼
И так, имеем единичные вектора A, B, C. так как точка A - точка S (0,0,0) = вектор A, тоже с B и С. Соответственнно SA - длина вектора SA; SB - длина вектора SB; SC - длина вектора SC; По теореме косинусов составляем систему из трёх уравнений. > 2*SA*SB*CosASB = SA^2 + SB^2 - [AB2]; > 2*SB*SC*CosBSC = SB^2 + SC^2 - [BC2]; > 2*SA*SC*CosASC = SA^2 + SC^2 - [AC2]; Три переменные три уравнения. В квадратных скобках - известное значение. Пытаемся решить сходу методом подстановки. Не получается никак. Сложением тоже. Понимаем что это квадратные уравнения и каждое уравнение имеет 2 корня. Так и есть. Решил поработать методом подбора. Задал конкретный треугольник в пространстве. Направил единичные вектора из S. Вставил в эти уравнения свободное значение SA. > 2*SA*SB*CosASB = SA^2 + SB^2 - [AB2]; > 2*SA*SC*CosASC = SA^2 + SC^2 - [AC2]; Получил по два корня SB и SC, все их отрисовал в юнити. То есть меняю длину SA от нуля до правильной. И получаю под две длины SB и SC, таким образом образуется 2 треугольника, хотя можно и четыре получить. Смысл в чём? Длина BC не контролируется. Я использовал только 2 уравнения системы. А теперь внимание. Видео. Из unity. Белыми линиями искомый треугольник. Розовыми - два полученных результата. Видно, что система имеет только одно правильное решение. Видно, что система не ориентируется на длину BC https://youtu.be/Kq6ROYhARpE Пробовал выводить через длину BC получаю обратно теорему косинусов для BC. Замкнутый круг какой - то. Вопрос.... Какого уравнения не хватает в системе? Не думаю, что это смешанное произведение векторов. Так как вектора из трёх точек в пространстве и так компланарны. Как буд-то математики ещё чего то не знают или я не знаю то, что знают математики. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Так а что найти то нужно?
|
||
Вернуться к началу | ||
Nova |
|
|
Для начала хотя бы решение треугольника методом подбора переменной длины SA. А в лучшем случае весь треугольник, который вписывается в три луча из S. И понять есть ли одно решение для относительности и таких же операций со второй камерой обскура.
|
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Вроде бы давал Вам совет свести систему к уравнению четвертой степени в другой теме viewtopic.php?p=354816#p354816.
Попытайтесь найти коэффициенты уравнения. Со своей стороны я приведу код алгебраического решения уравнения четвертой степени. И не надо бубна с итерациями и приблизительными решениями. /*Нахождение корней уравнения четвертой степени x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d=0*/ |
||
Вернуться к началу | ||
Nova |
|
|
Ну не ужели всё так плохо то? Резольвента... Видно же что решение очевидно. Чёрт ведь должно всё это быть проще. Спасибо конечно. Что не исключено - не значит невозможно. Почему нет?
|
||
Вернуться к началу | ||
Nova |
|
|
Я решил через центроид. Но не полностью. Получаю 3 правильных корня, три неправильных и 6 зеркальных, которые не нужны. Иначе говоря если сложить систему получится один верный и один неверный корень. То есть я доказал, что гомография треугольника имеет 2 решения. Но....
Я ещё не упрощал умножения косинусов. Там дожно многое посокращаться. Вот так выглядит система и решается методом попарной подстановки. SM - расстояние до центроида. >>SM^4 - SM^2*K101/K301 = + K201/K301; >>SM^4 - SM^2*K102/K302 = + K202/K302; >>SM^4 - SM^2*K103/K303 = + K203/K303; Это система биквадратных уравнений. Проверено все равенства соответствуют. Как только я вывожусь через SM^4 в три уравнения с одной переменной SM^2, произведения известных косинусов начинаю приобретать значения близкие к нулю 12 регистра. Думаю многое упроститься, но произведения адовые. Надо время. Для чего это надо. Берём треугольную линейку. Фотографируем. Убираем в фотошопе с фотки дисторсию. Отмечаем три точки вершин. Вводим данные длин линейки в уравнение. Получаем положение и поворот линейки в пространстве по фотографии. До меня кто-нибудь делал такое? Чую своим гуманитарным недомозгом, система должна иметь одно верное решение и одно зеркальное. Что это? Новая теорема решения тетраэдра по длинам основания и углам при противоположной вершине? Теоретически можно получить калибровку фотоаппаратов по трём треугольникам или 5 точкам. Но без дисторсии. И без матриц поворота. А упрощённые произведения работают быстрее. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
В плоском случае, когда точка S лежит в плоскости треугольника ABC и известны углы обзора из S на стороны известного треугольника - это весьма важная задача Потенота https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_Потенота.
В Вашем случае точка S лежит вне плоскости треугольника и известны три угла обзора сторон треугольника. Надо думать, что данная задача сложнее и важнее задачи Потенота, и скорее всего она давно решена, но не выставлена на всеобщее обозрение... |
||
Вернуться к началу | ||
Nova |
|
|
Возможно. Только я не представляю как практически проверить систему уравнений не используя переменных типа Double. Пока система не упрощена полностью, выходят значения очень близкие к нулю.
|
||
Вернуться к началу | ||
Nova |
|
|
Поздравьте меня. Система сошлась в одно биквадратное уравнение. Чудесным образом после некоторых манипуляций все уравнения стали одинаковые. Вычисления пока тяжёлые, но уже подальше от нуля где-то возле 5-того регистра. Дискриминант как бы намекает, что упрощать весь этот ад косинусов мне ещё недели две.
Однако я всё равно получаю один верный и один неверный корень. Пока я до конца не упростил всё, но сама алгебра диктует, что гомография треугольника имеет 4 решения. Подумать только, а есть люди которые решают это так. https://docplayer.ru/70095921-Gomografi ... -egor.html Когда всё решается школьным курсом тригонометрии. |
||
Вернуться к началу | ||
Nova |
|
|
Я решил и получил одно верное решение для длины до центроида SM^2. Теперь надо получить одно верное решение для SA. Я его решал, но удалил куда-то. Уравнение 100 процентов рабочее и стопроцентов адовое.
Короче я могу вам точно заявить. Любой треугольник в пространстве имеет всего одну проекцию на плоскость, а так же по проекции можно получить треугольник в пространстве и притом только один. Полтора года адских родов. Надо много упрощать и курить maple. Зы. А чё так форум медленно грузится? Меня уже потрошат? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 33 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Нерешаемая трапеция
в форуме Геометрия |
7 |
317 |
19 окт 2017, 17:49 |
|
Задача на ГМТ треугольника
в форуме Геометрия |
18 |
313 |
22 июл 2023, 23:53 |
|
Задача на построение равностороннего треугольника
в форуме Геометрия |
7 |
618 |
16 июн 2018, 16:38 |
|
Геометрическая задача определите углы треугольника АВС | 49 |
3039 |
02 окт 2014, 17:51 |
|
Задача на экстремум. Момент инерции вписанного треугольника
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
126 |
17 дек 2023, 22:02 |
|
Задача на соотношение между сторонами и углами треугольника
в форуме Геометрия |
9 |
322 |
03 май 2020, 16:14 |
|
Площадь треугольника
в форуме Геометрия |
1 |
309 |
15 апр 2015, 12:03 |
|
Стороны треугольника | 4 |
692 |
14 ноя 2016, 18:58 |
|
Стороны треугольника x,y,z
в форуме Алгебра |
11 |
337 |
18 июл 2022, 17:34 |
|
Два треугольника, два угла
в форуме Геометрия |
2 |
260 |
02 мар 2016, 10:26 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |