Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 28 фев 2019, 19:16 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 янв 2019, 19:01
Сообщений: 72
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Бытует мнение, что нельзя по трём точкам получить положение и поворот образуемого ими треугольника в пространстве.
Ну да ладно. Есть длины противоположных углам сторон трёх треугольников.
Такая простая и в тоже время сложная задача.
В пространстве дано:
точка S (Vector3) - центр камеры обскура = (0,0,0);
Три неизвестные точки в пространстве, образующие треугольник.
ABC.
Известны длины сторон AB, BC, AC. Углы ASB, ASC, BSC.

Изображение



И так, имеем единичные вектора A, B, C. так как точка A - точка S (0,0,0) = вектор A, тоже с B и С.
Соответственнно SA - длина вектора SA;
SB - длина вектора SB;
SC - длина вектора SC;

По теореме косинусов составляем систему из трёх уравнений.

> 2*SA*SB*CosASB = SA^2 + SB^2 - [AB2];
> 2*SB*SC*CosBSC = SB^2 + SC^2 - [BC2];
> 2*SA*SC*CosASC = SA^2 + SC^2 - [AC2];

Три переменные три уравнения. В квадратных скобках - известное значение.
Пытаемся решить сходу методом подстановки. Не получается никак. Сложением тоже.
Понимаем что это квадратные уравнения и каждое уравнение имеет 2 корня. Так и есть.

Решил поработать методом подбора.
Задал конкретный треугольник в пространстве. Направил единичные вектора из S.
Вставил в эти уравнения свободное значение SA.
> 2*SA*SB*CosASB = SA^2 + SB^2 - [AB2];
> 2*SA*SC*CosASC = SA^2 + SC^2 - [AC2];

Получил по два корня SB и SC, все их отрисовал в юнити.

То есть меняю длину SA от нуля до правильной. И получаю под две длины SB и SC, таким образом образуется 2 треугольника, хотя можно и четыре получить. Смысл в чём? Длина BC не контролируется. Я использовал только 2 уравнения системы.

А теперь внимание. Видео. Из unity.
Белыми линиями искомый треугольник. Розовыми - два полученных результата. Видно, что система имеет только одно правильное решение. Видно, что система не ориентируется на длину BC
https://youtu.be/Kq6ROYhARpE

Пробовал выводить через длину BC получаю обратно теорему косинусов для BC. Замкнутый круг какой - то.

Вопрос.... Какого уравнения не хватает в системе? Не думаю, что это смешанное произведение векторов. Так как вектора из трёх точек в пространстве и так компланарны. Как буд-то математики ещё чего то не знают или я не знаю то, что знают математики.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 28 фев 2019, 19:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4602
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
985 раз в 896 сообщениях
Очков репутации: 216

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так а что найти то нужно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 28 фев 2019, 20:01 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 янв 2019, 19:01
Сообщений: 72
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для начала хотя бы решение треугольника методом подбора переменной длины SA. А в лучшем случае весь треугольник, который вписывается в три луча из S. И понять есть ли одно решение для относительности и таких же операций со второй камерой обскура.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 28 фев 2019, 20:11 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 774
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
390 раз в 326 сообщениях
Очков репутации: 77

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде бы давал Вам совет свести систему к уравнению четвертой степени в другой теме viewtopic.php?p=354816#p354816.
Попытайтесь найти коэффициенты уравнения.
Со своей стороны я приведу код алгебраического решения уравнения четвертой степени.
И не надо бубна с итерациями и приблизительными решениями.
/*Нахождение корней уравнения четвертой степени x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d=0*/
a=2;b=-10;c=2;d=1;
/*Коэффициенты резольвенты*/
a1=-b;a2=a*c-4*d;a3=d*(4*b-a*a)-c*c;
/*Действительный корень резольвенты*/
p=a1*a1/9-a2/3;q=a3/2+(p-a2/6)*a1/3;dt=q*q-p^3;
y=if(dt<0,2*sqrt(p)*cos(arccos(-q/p/sqrt p)/3),3#(sqrt dt-q)-3#(sqrt dt+q))-a1/3;
/*Радикалы - слагаемые коэффициентов квадратных уравнений*/
r1=sqrt(y-b+a*a/4);r2=if(y*a/4-c/2>0,1,-1)*sqrt(y*y/4-d);
i=1;
LB0:
/*Коэффициенты и дискриминанты квадратных уравнений*/
k1=a/2+i*r1;
k2=y/2+i*r2;
ds=sqrt(k1*k1/4-k2);
if(i>0,i=-1,goto END);
/*Корни биквадратного уравнения 1 и проверка*/
print"x1=",x1=-k1/2+ds;
print"x2=",x2=-k1/2-ds;
print x1^4+a*x1^3+b*x1^2+c*x1+d,x2^4+a*x2^3+b*x2^2+c*x2+d;
goto LB0;
END:
/*Корни биквадратного уравнения 2 и проверка*/
print"x3=",x3=-k1/2+ds;
print"x4=",x4=-k1/2-ds;
print x3^4+a*x3^3+b*x3^2+c*x3+d,x4^4+a*x4^3+b*x4^2+c*x4+d;


Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 28 фев 2019, 21:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 янв 2019, 19:01
Сообщений: 72
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну не ужели всё так плохо то? Резольвента... Видно же что решение очевидно. Чёрт ведь должно всё это быть проще. Спасибо конечно. Что не исключено - не значит невозможно. Почему нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 31 мар 2019, 12:39 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 янв 2019, 19:01
Сообщений: 72
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я решил через центроид. Но не полностью. Получаю 3 правильных корня, три неправильных и 6 зеркальных, которые не нужны. Иначе говоря если сложить систему получится один верный и один неверный корень. То есть я доказал, что гомография треугольника имеет 2 решения. Но....
Я ещё не упрощал умножения косинусов. Там дожно многое посокращаться.
Вот так выглядит система и решается методом попарной подстановки. SM - расстояние до центроида.

>>SM^4 - SM^2*K101/K301 = + K201/K301;
>>SM^4 - SM^2*K102/K302 = + K202/K302;
>>SM^4 - SM^2*K103/K303 = + K203/K303;

Это система биквадратных уравнений. Проверено все равенства соответствуют.

Как только я вывожусь через SM^4 в три уравнения с одной переменной SM^2, произведения известных косинусов начинаю приобретать значения близкие к нулю 12 регистра.
Думаю многое упроститься, но произведения адовые. Надо время.

Для чего это надо.
Берём треугольную линейку. Фотографируем. Убираем в фотошопе с фотки дисторсию. Отмечаем три точки вершин. Вводим данные длин линейки в уравнение. Получаем положение и поворот линейки в пространстве по фотографии.
До меня кто-нибудь делал такое? Чую своим гуманитарным недомозгом, система должна иметь одно верное решение и одно зеркальное. Что это? Новая теорема решения тетраэдра по длинам основания и углам при противоположной вершине? Теоретически можно получить калибровку фотоаппаратов по трём треугольникам или 5 точкам. Но без дисторсии. И без матриц поворота. А упрощённые произведения работают быстрее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 15 апр 2019, 00:25 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 774
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
390 раз в 326 сообщениях
Очков репутации: 77

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В плоском случае, когда точка S лежит в плоскости треугольника ABC и известны углы обзора из S на стороны известного треугольника - это весьма важная задача Потенота https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_Потенота.
В Вашем случае точка S лежит вне плоскости треугольника и известны три угла обзора сторон треугольника.
Надо думать, что данная задача сложнее и важнее задачи Потенота, и скорее всего она давно решена, но не выставлена на всеобщее обозрение...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 15 апр 2019, 04:57 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 янв 2019, 19:01
Сообщений: 72
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно. Только я не представляю как практически проверить систему уравнений не используя переменных типа Double. Пока система не упрощена полностью, выходят значения очень близкие к нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 21 апр 2019, 17:25 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 янв 2019, 19:01
Сообщений: 72
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поздравьте меня. Система сошлась в одно биквадратное уравнение. Чудесным образом после некоторых манипуляций все уравнения стали одинаковые. Вычисления пока тяжёлые, но уже подальше от нуля где-то возле 5-того регистра. Дискриминант как бы намекает, что упрощать весь этот ад косинусов мне ещё недели две.
Однако я всё равно получаю один верный и один неверный корень. Пока я до конца не упростил всё, но сама алгебра диктует, что гомография треугольника имеет 4 решения.
Подумать только, а есть люди которые решают это так.
https://docplayer.ru/70095921-Gomografi ... -egor.html
Когда всё решается школьным курсом тригонометрии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гомография треугольника - очевидная но нерешаемая задача
СообщениеДобавлено: 18 июн 2019, 19:13 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 янв 2019, 19:01
Сообщений: 72
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я решил и получил одно верное решение для длины до центроида SM^2. Теперь надо получить одно верное решение для SA. Я его решал, но удалил куда-то. Уравнение 100 процентов рабочее и стопроцентов адовое.

Короче я могу вам точно заявить. Любой треугольник в пространстве имеет всего одну проекцию на плоскость, а так же по проекции можно получить треугольник в пространстве и притом только один.

Полтора года адских родов.

Надо много упрощать и курить maple.


Зы. А чё так форум медленно грузится? Меня уже потрошат?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 33 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нерешаемая трапеция

в форуме Геометрия

sigmahyper

7

178

19 окт 2017, 17:49

Очевидная Истина

в форуме Палата №6

igornewok

2

474

01 май 2013, 11:09

Задача на построение равностороннего треугольника

в форуме Геометрия

IvanSavkiv

7

198

16 июн 2018, 16:38

Задача 8 кл. Найти углы треугольника

в форуме Геометрия

nata_leb

2

618

02 апр 2013, 16:44

Задача по геометрии С4: найти площадь треугольника

в форуме Геометрия

lika01

3

887

25 апр 2013, 10:05

Задача на построение заданного треугольника в круге

в форуме Геометрия

ivan1212

1

343

20 мар 2013, 00:40

Геометрическая задача определите углы треугольника АВС

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Revan

49

1577

02 окт 2014, 17:51

Найдите площадь треугольника! Задача физмата

в форуме Геометрия

maximplotnikov

1

595

23 фев 2012, 16:03

Задача на нахождение точки внутри треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

conjack

23

850

14 дек 2013, 01:03

Центр треугольника

в форуме Школьная физика

Fodikin

1

120

03 мар 2019, 17:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved