Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 06 фев 2019, 19:13 
В сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 фев 2019, 00:52
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача

Дано:

Три точки со сферическими координатами, лежащие на поверхности сферы с радиусом R. Сферические координаты даны как:
зенитный и азимутальный углы или долгота и широта.


Найти

Точку, лежащую на поверхности сферы, равноудаленную от трех других точек, также лежащих на поверхности сферы с радиусом R.

==============
Ответ можно дать формулами (системой уравнений) или на конкретном примере.

Пример задачи. Три точки на поверхности сферы радиуса R=100, с географическими координатами:

A (10, 25); B (-42, 34); C (18, -61)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 06 фев 2019, 20:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1137
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
217 раз в 212 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Расстояние в градусах d между двумя точками на сфере в географических координатах [math]\left( \theta , \varphi \right)[/math], где [math]\theta[/math] - широта, [math]\varphi[/math] -долгота, вычисляется по формуле:

[math]cos(d)=sin \theta_ {1}*sin\theta_ {2}+cos\theta_ {1}cos \theta_ {2}*cos( \varphi _{1}-\varphi _{2} )[/math]
Расстояние в единицах длины [math]L=arccos(d)*R[/math]
Если [math]\theta _{0}, \varphi _{0}[/math] искомые координаты, то нужно записать расстояния от этой точки до каждой из заданных трех [math]d_{1},d_{2},d_{3}[/math]. Система уравнений будет выглядеть, например, так:

[math]d_{1}=d_{2};d_{2}=d_{3}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали:
Fyodor
 Заголовок сообщения: Re: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 06 фев 2019, 20:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4209
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
633 раз в 599 сообщениях
Очков репутации: 140

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как вариант можно сначала задачу решить для каких-то двух точек. Это будет большой круг на сфере. Затем решить задачу для каких-то других двух точек. Затем найти пересечение кругов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Fyodor
 Заголовок сообщения: Re: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 07 фев 2019, 01:49 
В сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 фев 2019, 00:52
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Расстояние в градусах d между двумя точками на сфере в географических координатах [math]\left( \theta , \varphi \right)[/math], где [math]\theta[/math] - широта, [math]\varphi[/math] -долгота, вычисляется по формуле:

[math]cos(d)=sin \theta_ {1}*sin\theta_ {2}+cos\theta_ {1}cos \theta_ {2}*cos( \varphi _{1}-\varphi _{2} )[/math]
Расстояние в единицах длины [math]L=arccos(d)*R[/math]
Если [math]\theta _{0}, \varphi _{0}[/math] искомые координаты, то нужно записать расстояния от этой точки до каждой из заданных трех [math]d_{1},d_{2},d_{3}[/math]. Система уравнений будет выглядеть, например, так:

Получил систему уравнений:

Изображение

Далее требуется их упростить и вывести итоговое решение относительно угла d. Увы, как решать подобные - с таким изобилием тригонометрии, уже подзабыл... ))

Далее:

[math]d_{1}=d_{2};d_{2}=d_{3}[/math]

slava_psk писал(а):
Расстояние в единицах длины L=arccos(d)∗R
L=arccos(d)∗R


Это, видимо, уравнение для хорды, т.е. прямого отрезка. Для дуги же я обычно использую более простую: d / 360 х 2пи*R.

И далее - для географических координат, нужно вычислить широту и долготу найденного центра.

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 07 фев 2019, 08:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1137
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
217 раз в 212 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fyodor, d это не угол в градусах. Это косинус угла, поэтому сначала арккосинус.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 07 фев 2019, 08:51 
В сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 фев 2019, 00:52
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Видимо, мой предыдущий комментарий затерялся, будучи оформлен полностью как цитата. Поэтому повторяю. Прошу прощения.

slava_psk писал(а):
Расстояние в градусах d между двумя точками на сфере в географических координатах [math]\left( \theta , \varphi \right)[/math], где [math]\theta[/math] - широта, [math]\varphi[/math] -долгота, вычисляется по формуле:

[math]cos(d)=sin \theta_ {1}*sin\theta_ {2}+cos\theta_ {1}cos \theta_ {2}*cos( \varphi _{1}-\varphi _{2} )[/math]


Получил систему уравнений:

Изображение

Далее требуется их упростить и вывести итоговое решение относительно угла d. Увы, как решать подобные - с таким изобилием тригонометрии, уже подзабыл... ))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 07 фев 2019, 09:05 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1137
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
217 раз в 212 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fyodor,
на самом деле, когда замените все косинусы и синусы на х,у, получится алгебраическая система. [math]cos \theta _{0} =x; ~sin \varphi _{0} =y....[/math] Все остальные коэффициенты заданы из условий задачи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 07 фев 2019, 11:31 
В сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 фев 2019, 00:52
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Fyodor,
на самом деле, когда замените все косинусы и синусы на х,у, получится алгебраическая система. [math]cos \theta _{0} =x; ~sin \varphi _{0} =y....[/math] Все остальные коэффициенты заданы из условий задачи.



Простите, Вячеслав, дотошность чайника.. Дело в том, что у меня не было практики решения подобных уравнений более 30 лет. Поэтому любое действие, кажущееся Вам элементарным, может вызывать сложности. Ну заменил я на х и у. Это, кстати что? - абстрактные символы - для удобства дальнейших преобразований, или же координаты.. Т.е. синус соответствует координате х, а косинус - у?

Ну заменил я синусы, косинусы на х и у, получилось:

Изображение

Дальше что? Видимо, требуется преобразовать их в соответствии с некими тригонометрическими тождествами (или же будут квадратные уравнения?). Вот применил только формулы сложения и вычитания аргументов.. И я снова пасую..

Короче, я наверное, вынужден просить предоставления итоговой формулы [math]cos \theta _{0} =x; ~sin \varphi _{0} =y....[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 07 фев 2019, 12:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1137
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
217 раз в 212 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извините, ввел вас в заблуждение. На самом деле получается нелинейная система из трех уравнений [math]d_{1}=d_{2}; ~d_{1}=d_{3};d_{3}=d_{2};[/math]. Например вида:

[math]\begin{matrix}F_{1}\left( cos \theta ,cos \varphi ,sin \varphi \right) =0 \\ F_{2}\left( cos \theta ,cos \varphi ,sin \varphi \right) =0 \\ F_{3}\left( cos \theta ,cos \varphi ,sin \varphi \right) =0 \end{matrix}[/math]

довольно сложного вида. [math]\left( \varphi , \theta \right)[/math] - это координаты искомой точки. Решать эту систему, кроме как численно, я не вижу другого. Может кто-то подскажет лучшее решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали:
Fyodor
 Заголовок сообщения: Re: На поверхности сферы: точка, равноудаленная от трех других
СообщениеДобавлено: 07 фев 2019, 12:21 
В сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 фев 2019, 00:52
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Извините, ввел вас в заблуждение. На самом деле получается нелинейная система из трех уравнений [math]d_{1}=d_{2}; ~d_{1}=d_{3};d_{3}=d_{2};[/math]. Например вида:

[math]\begin{matrix}F_{1}\left( cos \theta ,cos \varphi ,sin \varphi \right) =0 \\ F_{2}\left( cos \theta ,cos \varphi ,sin \varphi \right) =0 \\ F_{3}\left( cos \theta ,cos \varphi ,sin \varphi \right) =0 \end{matrix}[/math]

довольно сложного вида. [math]\left( \varphi , \theta \right)[/math] - это координаты искомой точки. Решать эту систему, кроме как численно, я не вижу другого. Может кто-то подскажет лучшее решение.



То есть, Вы имеете ввиду, что только с конкретно заданными координатами? Может быть, тогда на конкретном примере?:

Изображение

Требуется найти точку, равноудаленную от городов: Москва; Краснодар; Владивосток.
- R - расстояние до искомого центра;
- широта и долгота искомого центра.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
В каком отношении точка M, равноудаленная от точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

mybrainstem

1

356

23 янв 2013, 20:12

Из трёх внешне одинаковых монет одна легче других

в форуме Алгебра

bnr07

4

521

10 окт 2012, 20:14

Интеграл по поверхности сферы

в форуме Интегральное исчисление

SoLL

1

1109

16 авг 2014, 00:17

плотность тока на поверхности сферы

в форуме Специальные разделы

tatDAMIR

4

425

22 янв 2012, 10:27

Точка пересечения трёх плоскостей

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

vladimir_awe

2

288

03 май 2015, 17:34

Вычислить массу части поверхности сферы

в форуме Интегральное исчисление

Vital_Orsha

6

72

09 дек 2018, 16:33

Площадь поверхности тетраэдра, внутри сферы

в форуме Геометрия

kvant

23

1210

18 окт 2012, 19:16

Найти центр сферы по 4 точкам на ее поверхности

в форуме Геометрия

Excalibur921

1

693

25 июн 2014, 14:07

Найти длину линии пересечения сферы и поверхности

в форуме Численные методы

bugi

2

630

27 ноя 2013, 15:52

Лежит ли точка на поверхности, полученной вращением эллипса

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

alenkagorskaya

4

441

14 ноя 2011, 18:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Fyodor и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved