Математический форум Math Help Planet

Является ли Z[x] кольцом главных идеалов?
Как я понимаю, не является. Предложили следующее доказательство, оно немного неоконченное, на мой взгляд..
Прошу Вас посмотреть или, возможно, посоветовать свой вариант.

Моё док-во:
Допустим I - идеал Z[x].
I={f(x) = a0 + a1*x + an*x^n так, что a0 принадлежит 2Z(четные) }
То есть данный полином задается двумя элементами (2,x)
Докажем, что (2,x) нельзя выразить через один элемент (h)
h=c0 + x(...)
1)c0 = 0 следовательно h принадлежит (x) (идеалу, порожд. x) следовательно (h) не равен I
2) x(...) = 0 следовательно (h) принадлежит 2Z следовательно (h) не равен I
3) где c0=x(...) - очевидно
4) Мне кажется, не хватает разбора случая, где они оба ненулевые. Или он не нужен?



Заранее спасибо!

Та лучше проще, в этом же примере [math]2\in I[/math] значит [math]h = c_0[/math], для некоторого [math]c_0\neq 0, c_0 |
2[/math] и при этом четного ( [math]h \in I[/math] ), то есть [math]c_0 = \pm2[/math], значит [math]I\subset 2Z(x)[/math], что неверно.