Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать неравенство, используя векторную алгебру
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2017, 15:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2017, 15:28
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{ 1 }{ a }[/math] + [math]\frac{ 1 }{ b }[/math] + [math]\frac{ 1 }{ c }[/math] [math]\geqslant[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{ab} }[/math] + [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{bc} }[/math] + [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{ac} }[/math] ;
a>0, b>0, c>0
По идее, a,b,c нужно рассматривать, как координаты какого-то вектора

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство, используя векторную алгебру
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2017, 18:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2213
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
329 раз в 314 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предлагаю забить на "векторную алгебру". Решение, как вы сами понимаете, элементарно. Правая часть переносится влево и представляется как сумма трёх квадратов. Но можно решать по научному. Сделать замену переменных. И рассмотреть вопрос о положительности квадратичной формы. Но вряд ли это будет "векторная алгебра". Хотя, может быть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство, используя векторную алгебру
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2017, 18:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2017, 15:28
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Оно и понятно, что решение этого неравенства обычным путём элементарное, однако интересно бы увидеть решение, используя вектора. Я сначала рассмотрел a,b,c не как координаты вектора, а как вектора, и начал как-то преобразовывать это неравенство, используя скалярное произведение, но это только усложнило всё. В качестве варианта, мне предложили рассматривать a,b,c как координаты вектора, но пока не могу врубиться, как мне этим воспользоваться

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство, используя векторную алгебру
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2017, 19:48 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2213
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
329 раз в 314 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тут трудность в том, что в векторной алгебре между векторами нет отношения больше - меньше. Такое отношение можно получить, например, с помощью скалярного произведения, перейдя к числам. Но в данном примере скалярным произведением не пахнет (разве что с вектором с единичными координатами, что неестественно).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство, используя векторную алгебру
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2017, 21:06 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1564
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
565 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Введем векторы [math]\vec{V} =\left\{ \frac{ 1 }{ \sqrt{a}}; \frac{ 1 }{ \sqrt{b} };\frac{ 1 }{ \sqrt{c} } \right\}[/math], [math]\vec{W} =\left\{ \frac{ 1 }{ \sqrt{b}}; \frac{ 1 }{ \sqrt{c} };\frac{ 1 }{ \sqrt{a} } \right\}[/math] с одинаковыми длинами [math]V=W=\sqrt{\frac{ 1 }{ a }+\frac{ 1 }{ b }+\frac{ 1 }{ c } }[/math]. Выполняется неравенство: [math]\vec{V} \cdot \vec{W} \leqslant V \cdot W[/math], которое приводится к требуемому [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{ab}}+\frac{ 1 }{ \sqrt{bc}}+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ac}} \leqslant \frac{ 1 }{ a }+\frac{ 1 }{ b } +\frac{ 1 }{ c }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Andy, phlegeton
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство, используя векторную алгебру
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2017, 21:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2213
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
329 раз в 314 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрим две точки [math]x=\{ \sqrt a, \sqrt b, \sqrt c \}[/math] и [math]y=\{ 1/ \sqrt a, 1/ \sqrt b, 1/ \sqrt c\}[/math]. Квадрат расстояния между ними неотрицателен. Правда тут нужна ещё чисто алгебраическая предварительная работа с исходным неравенством.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство, используя векторную алгебру
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2017, 01:18 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2213
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
329 раз в 314 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я тут ерунду написал. Хотя идея правильная. Вторая точка правильная. А первую можно получить из второй циклической перестановкой координат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство, используя векторную алгебру
СообщениеДобавлено: 13 ноя 2017, 14:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2017, 15:28
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое, решение и вправду несложное, главное догадаться

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Парочка задач на векторную алгебру и аналитическую геометрию

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ventil94

1

265

11 ноя 2012, 20:51

Решить задачу, используя алгебру логики

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Sweet_blood

9

638

22 ноя 2014, 00:24

Решить задачу используя алгебру логики

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

perv

17

675

08 дек 2012, 23:19

Используя определение предела, доказать

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mari051070

11

417

27 ноя 2013, 22:33

Используя определение последовательности, доказать, что

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

tohaf

2

172

11 апр 2016, 17:22

Доказать, используя определение предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nastyapfff

1

394

24 мар 2014, 19:31

Доказать используя математическую индукцию

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

dragomir

1

55

14 июн 2017, 01:45

Доказать, используя определение предела, что

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anna1996

1

150

19 май 2015, 22:03

Используя определение предела, доказать

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

natashik

2

140

21 мар 2016, 18:04

Используя определение предела последовательности, доказать

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Michael_555

1

660

02 май 2013, 09:59


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 44


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved