Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
YogeneP |
|
|
Многие термины почерпнуты из википедии, не факт, что правильно поняты. Дано: [math]\vec{i}[/math],[math]\vec{j}[/math],[math]\vec{k}[/math] - исходный ортонормированный базис; [math]\vec{i'}[/math],[math]\vec{j'}[/math],[math]\vec{k'}[/math] - повёрнутый ортонормированный базис. углы [math]\angle( \vec{i} ,\vec{i'} ) = \alpha[/math] ,[math]\angle( \vec{j} ,\vec{j'} ) = \beta[/math], [math]\angle( \vec{k} \vec{k'} ) = \gamma[/math] Требуется восстановить полную матрицу перехода T (найти все решения). Обозначения: [math]cos \alpha = a[/math] [math]cos \beta = b[/math] [math]cos \gamma = c[/math] Так как базисы ортонормированные, в матрице перехода по столбцам укладываются направляющие косинусы векторов нового базиса (обозначения над и под главной диагональю: ij ->[math]cos \angle( \vec{i'} , \vec{j} )[/math]) : [math]T = \begin{pmatrix} a & ji & ki \\ ij & b & kj \\ ik & jk & c \end{pmatrix}[/math] Матрица д.б. ортогональной, входит в спец. ортогональную группу (группа вращения) -> [math]T^{-1} = T^{T}[/math], [math]\det{T} = 1[/math]. Т.о. за основу взято матричное уравнение [math]T \cdot T^{T} = E[/math]. Способов решения в матричном виде не нашёл. При переходе к алгебраической форме получилась система 6 нелинейных уравнений с 6 неизвестными: [math]\left\{\!\begin{aligned} & a \cdot ji + ij \cdot b + ik \cdot jk = 0 \\ & ji \cdot ki + b \cdot kj + jk \cdot c = 0 \\ & a \cdot ki + kj \cdot ij + c \cdot ik = 0 \\ & a^{2} + ij^{2} + ik^{2} = 1 \\ & ji^{2} + b^{2} + jk^{2} = 1 \\ & ki^{2} + kj^{2} + c^{2} = 1 \end{aligned}\right.[/math] Общей схемы решения тоже не нашлось, но путём линейных преобразований (в упор не помню, они вообще допустимы в нелинейных системах?) удалось повыражать 3 переменных из первых трёх уравнений через 3 оставшиеся и подставить в последние 3 уравнения. В итоге раскрытие, приведение и упрощение ещё в процессе, пока виднеется 8-я степень относительно некоторых переменных... Ещё отдельно надо рассматривать частные случаи обращения переменных и исходных коэффициентов в 0 в различных комбинациях. На мой взгляд, задача не такая уж специфичная, имеет востребованное прикладное значение, поэтому не верится, что нет готового решения в общем виде под именем какой-нибудь "проблемы Исаева-Штирлица". Гуглил 2 дня, что-то пустовато. Вопросы следующие: 1. Есть ли типовое решение? 2. Есть ли пути проще? 3. Тот, что выше, это дорога куда надо или в никуда? |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Дополнить до ортонормированного базиса базиса следующие сист
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
13 |
1195 |
14 ноя 2017, 21:31 |
|
Определение направления поворота по двум углам
в форуме Геометрия |
1 |
167 |
17 дек 2020, 13:09 |
|
Площадь четырехугольника по углам и двум сторонам
в форуме Геометрия |
4 |
566 |
14 июн 2017, 11:38 |
|
Матрица перехода от прямоугольной к произвольным углам | 7 |
365 |
14 июн 2016, 13:53 |
|
Равенство треугольников по двум углам и стороне
в форуме Геометрия |
7 |
248 |
19 ноя 2020, 12:36 |
|
Восстановление функции по ее спектрам | 1 |
404 |
24 ноя 2014, 13:31 |
|
Восстановление очерёдности элементов по их вероятности
в форуме Теория вероятностей |
18 |
567 |
20 апр 2017, 04:48 |
|
Восстановление функции по ее полному дифференциалу
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
920 |
18 дек 2016, 20:50 |
|
Восстановление плотности методом KNN (k ближайших соседей) | 7 |
246 |
21 мар 2023, 19:46 |
|
Сечение куба по трем точкам
в форуме Геометрия |
2 |
1380 |
16 дек 2017, 02:01 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 31 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |