Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Восстановление базиса в пространстве по трём углам
СообщениеДобавлено: 21 авг 2017, 16:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 авг 2017, 15:17
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Просьба наставить на правильный путь в решении задачи (на какой-то, приведённый ниже путь я уже встал, но не уверен что движение идёт в правильном направлении). В универе по всей вышке всех удовлетворил, но не более того )
Многие термины почерпнуты из википедии, не факт, что правильно поняты.

Дано:
[math]\vec{i}[/math],[math]\vec{j}[/math],[math]\vec{k}[/math] - исходный ортонормированный базис;
[math]\vec{i'}[/math],[math]\vec{j'}[/math],[math]\vec{k'}[/math] - повёрнутый ортонормированный базис.
углы [math]\angle( \vec{i} ,\vec{i'} ) = \alpha[/math] ,[math]\angle( \vec{j} ,\vec{j'} ) = \beta[/math], [math]\angle( \vec{k} \vec{k'} ) = \gamma[/math]

Требуется восстановить полную матрицу перехода T (найти все решения).

Обозначения:

[math]cos \alpha = a[/math]

[math]cos \beta = b[/math]

[math]cos \gamma = c[/math]

Так как базисы ортонормированные, в матрице перехода по столбцам укладываются направляющие косинусы векторов нового базиса (обозначения над и под главной диагональю:
ij ->[math]cos \angle( \vec{i'} , \vec{j} )[/math]) :

[math]T = \begin{pmatrix} a & ji & ki \\ ij & b & kj \\ ik & jk & c \end{pmatrix}[/math]
Матрица д.б. ортогональной, входит в спец. ортогональную группу (группа вращения) -> [math]T^{-1} = T^{T}[/math], [math]\det{T} = 1[/math].
Т.о. за основу взято матричное уравнение [math]T \cdot T^{T} = E[/math].
Способов решения в матричном виде не нашёл.
При переходе к алгебраической форме получилась система 6 нелинейных уравнений с 6 неизвестными:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a \cdot ji + ij \cdot b + ik \cdot jk = 0 \\
& ji \cdot ki + b \cdot kj + jk \cdot c = 0 \\
& a \cdot ki + kj \cdot ij + c \cdot ik = 0 \\
& a^{2} + ij^{2} + ik^{2} = 1 \\
& ji^{2} + b^{2} + jk^{2} = 1 \\
& ki^{2} + kj^{2} + c^{2} = 1
\end{aligned}\right.[/math]


Общей схемы решения тоже не нашлось, но путём линейных преобразований (в упор не помню, они вообще допустимы в нелинейных системах?) удалось повыражать 3 переменных из первых трёх уравнений через 3 оставшиеся и подставить в последние 3 уравнения. В итоге раскрытие, приведение и упрощение ещё в процессе, пока виднеется 8-я степень относительно некоторых переменных...
Ещё отдельно надо рассматривать частные случаи обращения переменных и исходных коэффициентов в 0 в различных комбинациях.

На мой взгляд, задача не такая уж специфичная, имеет востребованное прикладное значение, поэтому не верится, что нет готового решения в общем виде под именем какой-нибудь "проблемы Исаева-Штирлица". Гуглил 2 дня, что-то пустовато. Вопросы следующие:
1. Есть ли типовое решение?
2. Есть ли пути проще?
3. Тот, что выше, это дорога куда надо или в никуда?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Геометрическая интепретация интервала базиса и ранга базиса

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

La manzana

5

520

22 сен 2013, 20:25

Дополнить до ортонормированного базиса базиса следующие сист

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Alecsand1232342

13

101

14 ноя 2017, 22:31

Найти треуголники по углам

в форуме Тригонометрия

symanteck

1

169

10 мар 2014, 00:47

Матрица перехода от прямоугольной к произвольным углам

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

fox7812

7

121

14 июн 2016, 14:53

Площадь четырехугольника по углам и двум сторонам

в форуме Геометрия

Extraneous

4

115

14 июн 2017, 12:38

Восстановление функции по ее спектрам

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

AlexImRe

1

218

24 ноя 2014, 14:31

Восстановление функций по условиям

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Tauka

2

203

20 янв 2014, 14:30

Сечение куба по трем точкам

в форуме Геометрия

Super_Soroka

2

43

16 дек 2017, 03:01

Восстановление очерёдности элементов по их вероятности

в форуме Теория вероятностей

dyadyakolya

18

286

20 апр 2017, 05:48

Построить треугольник по трём медианам

в форуме Геометрия

NENS

1

797

05 янв 2013, 18:12


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved