Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Artemiyj |
|
|
2)Составить общее уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку A(1,2,3). |
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
Векторы а и b заданы на плоскости или в трехмерном пространстве?
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
vvvv писал(а): Векторы а и b заданы на плоскости или в трехмерном пространстве? Это удар ниже пояса. Вы заставляете топик-стартера задуматься. В условии об этом ничего не сказано. Они могут в принципе и в бесконечномерном пространстве располагаться. По первой задаче. Надо квадрат нормы вектора расписать через скалярное произведение и вспомнить её (произведения) свойства и раскрыть скобки. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Artemiyj писал(а): 2)Составить общее уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку A(1,2,3). Попробуйте для начала составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (1,2,0). Поскольку уравнение плоскости не должно содержать [math]z[/math], то это решает проблему. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Artemiyj писал(а): 1)Найти длину вектора a+2b, если модуль а=3, b=1. (a,b)=-1. Исходя из своих небольших остатков познаний в аналитической геометрии, я бы решал задачу "по-школьному". Введём на плоскости, в которой расположены оба вектора, декартову прямоугольную систему координат. По условию [math]3 \cdot 1 \cdot \cos \angle(\vec{a},~\vec{b})=-1,[/math] откуда [math]\cos \angle(\vec{a},~\vec{b})=-\frac{1}{3},~\sin \angle(\vec{a},~\vec{b})=\sqrt{1-\left( -\frac{1}{3} \right)^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}.[/math] Направим ось абсцисс вдоль вектора [math]\vec{a},[/math] начало координат совместим с началом этого вектора. Тогда [math]\vec{a}=\left\{ 3,~0 \right\}.[/math] Конец вектора [math]\vec{a}[/math] будет находиться в точке [math](3,~0).[/math] Приложим к этой точке начало вектора [math]\vec{b}.[/math] Его конец окажется в точке [math]\left( 3+3 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right),~ 0+3 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right)=\left( 2,~2 \sqrt{2} \right).[/math] В этой точке находится конец вектора [math]\vec{a}+\vec{b}.[/math] Приложим к этой точке начало вектора [math]\vec{b}.[/math] Его конец окажется в точке [math]\left( 2+3 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right),~ 2 \sqrt{2}+3 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right)=\left( 1,~4 \sqrt{2}\right).[/math] В этой точке находится конец вектора [math]\vec{a}+2\vec{b}.[/math] Длина этого вектора составляет [math]\left| (1-0)^2+\left( 4 \sqrt{2}-0 \right)^2 \right|=\sqrt{33} \approx 5,74.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Andy писал(а): Длина этого вектора составляет [math]\left| (1-0)^2+\left( 4 \sqrt{2}-0 \right)^2 \right|=\sqrt{33} \approx 5,74.[/math] У меня получается [math]||a+2b||^2=||a||^2+4(a,b)+4||b||^2=9-4+4=9[/math]. Отсюда [math]||a+2b||=3[/math]. Я в принципе считаю плохо, могу и ошибаться. Но, по любому [math]||a+2b||<=||a||+2||b||=5[/math], как мне кажется. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Я ошибся в вычислениях, потому что неправильно подставил длину вектора [math]\vec{b},[/math] взяв [math]\left| \vec{b} \right|=3 \ne 1.[/math]Исправляю.
Введём на плоскости, в которой расположены оба вектора, декартову прямоугольную систему координат. По условию [math]3 \cdot 1 \cdot \cos \angle(\vec{a},~\vec{b})=-1,[/math] откуда [math]\cos \angle(\vec{a},~\vec{b})=-\frac{1}{3},~\sin \angle(\vec{a},~\vec{b})=\sqrt{1-\left( -\frac{1}{3} \right)^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}.[/math] Направим ось абсцисс вдоль вектора [math]\vec{a},[/math] начало координат совместим с началом этого вектора. Тогда [math]\vec{a}=\left\{ 3,~0 \right\}.[/math] Конец вектора [math]\vec{a}[/math] будет находиться в точке [math](3,~0).[/math] Приложим к этой точке начало вектора [math]\vec{b}.[/math] Его конец окажется в точке [math]\left( 3+1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right),~ 0+1 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right)=\left( \frac{8}{3},~\frac{2 \sqrt{2}}{3} \right).[/math] В этой точке находится конец вектора [math]\vec{a}+\vec{b}.[/math] Приложим к этой точке начало вектора [math]\vec{b}.[/math] Его конец окажется в точке [math]\left( \frac{8}{3}+1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right),~\frac{2 \sqrt{2}}{3}+1 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right)=\left( \frac{7}{3},~\frac{4 \sqrt{2}}{3} \right).[/math] В этой точке находится конец вектора [math]\vec{a}+2\vec{b}.[/math] Длина этого вектора составляет [math]\left| \left( \frac{7}{3}-0 \right)^2+\left( \frac{4 \sqrt{2}}{3}-0 \right)^2 \right|=\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{32}{9}}=\sqrt{\frac{81}{9}}=\sqrt{9}=3.[/math] Уважаемый searcher дал правильный ответ. Хотя, по-моему, в данном случае не нужно использовать знак нормы. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Общее уравнение плоскости | 1 |
376 |
06 дек 2014, 21:52 |
|
Как найти общее уравнение плоскости? | 6 |
266 |
21 апр 2019, 20:49 |
|
Составить уравнение прямой и плоскости через точку и вектора | 7 |
339 |
22 дек 2020, 16:23 |
|
Написать общее уравнение плоскости ( через определитель) | 1 |
214 |
11 дек 2016, 17:08 |
|
Составить общее уравнение ортогональной плоскости ч-з точку | 6 |
219 |
01 фев 2024, 01:46 |
|
Найти угол между прямым и общее уравнение плоскости | 4 |
397 |
08 дек 2016, 13:15 |
|
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку
в форуме Геометрия |
5 |
131 |
04 дек 2023, 11:24 |
|
Длина вектора | 1 |
249 |
28 окт 2019, 01:36 |
|
Длина вектора | 1 |
308 |
24 дек 2017, 03:01 |
|
Длина вектора | 10 |
477 |
22 дек 2016, 20:10 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 38 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |