Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти ортогональную проекцию вектора на ось
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=46557
Страница 1 из 1

Автор:  GRAND799 [ 14 янв 2016, 01:17 ]
Заголовок сообщения:  Найти ортогональную проекцию вектора на ось

Здравствуйте. Помогите разобраться с ходом решения задачи. Мне важно понять сам механизм решения, а не получить готовое решение, пожалуйста, не примите за блажь))) Итак задача:
Даны вектор А (1;-3;4) и вектор В(2;-3;6). Найти ортогональную проекцию вектора А на ось,заданную вектором В.

Задача, по сути, типовая, если бы нужно было найти число.
Я верно понял теорию, проекция-это число?


И не было бы проблем. Но в ответе указан вектор и я несколько растерялся. Подскажите как решаются подобные задачи. По моему скромному разумению,разгадка кроется в разности понятий: ПРОЕКЦИЯ и ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ.

Возникло три вопроса:
1. Проекция вектора это число?
Если это число, то почему требуется найти вектор?
2.Разъясните своими словами разницу между понятием ПРОЕКЦИЯ и ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ.
3. Поясните механизм решения подобных типов задач, если в условии необходимо найти проекцию вектора и выразить эту проекцию не через число, а через вектор.

Заранее спасибо))

Автор:  Anatole [ 14 янв 2016, 01:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось

GRAND799
Вы хотите поработать онлайн?

Автор:  GRAND799 [ 14 янв 2016, 11:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось

?
Если надо, то да.

Автор:  Anatole [ 14 янв 2016, 15:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось

GRAND799
GRAND799 писал(а):
2.Разъясните своими словами разницу между понятием ПРОЕКЦИЯ и ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ.

Если рассмотреть прямоугольный треугольник, то в нем катет есть ортогональная проекция гипотенузы на ось на которой лежит катет.
Ортогональная проекция - это когда проецирующие прямые перпендикулярны прямой на которую проецируем.

Под проекцией отрезка на направленную ось следует понимать число, т.е длину проекции.

Если же на направленную ось проецируется вектор, то следует различать скалярную и векторную проекции.
Скалярная проекция вектора на направленную ось является алгебраической величиной, т.е может иметь два знака.

Векторная проекция является тоже вектором и должна иметь направление.

Если вектор образует острый угол с направлением оси, на которую ложится проекция, то считаем что проекция положительная.
Если же вектор образует с осью тупой угол, то проекция вектора на ось проекцию следует считать отрицательной.


Изображение
Изображение
Изображение


GRAND799 писал(а):
Даны вектор А (1;-3;4) и вектор В(2;-3;6). Найти ортогональную проекцию вектора А на ось,заданную вектором В.


Векторы принято обозначать маленькими буквами.
[math]\vec{a}=(1;-3;4)[/math], [math]\vec{b}=(2;-3;6)[/math]

[math]\operatorname{pr}_{ b }{ a}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{ \left| b \right| }=\frac{ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 }{ \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2} } }=\frac{ 35 }{ 7 }=5[/math] - так можно найти длину проекции с учетом знака.

Если теперь единичный вектор [math]\vec{b_{0}}[/math]умножить на эту величину получим проекцию вектора [math]\vec{a}[/math] на направление вектора [math]\vec{b}[/math].

[math]\vec{b_{0}} =\frac{ \vec{b} }{ \left| \vec{b} \right| }= \left( \frac{ 2 }{ 7 } ;\frac{ -3 }{ 7 };\frac{ 6 }{ 7 } \right)[/math] - единичный вектор по направлению [math]\vec{b}[/math].

[math]\vec{\operatorname{pr}_{ b }{ a } } =5 \cdot\vec{b_{0}} =\left( \frac{ 10 }{ 7 } ;\frac{ -15 }{ 7 };\frac{ 30 }{ 7 } \right)[/math] - векторная проекция [math]\vec{a}[/math] на [math]\vec{b}[/math].

Автор:  GRAND799 [ 14 янв 2016, 19:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось

Спасибо большое за разъяснение.Надо изучать способы написания этих векторов(стрелочки), что бы выкладывать на форум. Хитрый метод решения получается, но в целом понятно.Продолжаю изучать математику. Это я к тому что вопросов будет достаточно много, все таки видеоуроки, выложенные на просторах интернета не все освещают((((

Автор:  UkrFreeman [ 12 июл 2017, 18:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось

у меня одного созрел вопрос - что за хр*нь вы изобразили на своем рисунке?
единичный вектор e = [math]\vec{b}[/math] / |[math]\vec{b}[/math]|
понимание того, что единичный вектор может задаваться числом или формулой есть, но почему, в этом случае, вы взяли такое странное отношение: вектора к его абсолютному значению?
если вектор b коллинеарен е, то тогда [math]\vec{b}[/math]=k*[math]\vec{e}[/math] зачем нужно, его делить на |b|, а не на коэф отношения векторов "k",
ну даже если e=1, вектор [math]\vec{b}[/math] равен k, те значение его длинны равно k и еще знаку +или -, следовательно k не нужно брать по модулю?

Автор:  Anatole [ 13 июл 2017, 01:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось

UkrFreeman

Любой вектор можно записать так:

[math]\vec{a}=\left| \vec{a} \right|\cdot \vec{a_{0} }[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/