Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти ортогональную проекцию вектора на ось
СообщениеДобавлено: 14 янв 2016, 01:17 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 дек 2015, 20:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Помогите разобраться с ходом решения задачи. Мне важно понять сам механизм решения, а не получить готовое решение, пожалуйста, не примите за блажь))) Итак задача:
Даны вектор А (1;-3;4) и вектор В(2;-3;6). Найти ортогональную проекцию вектора А на ось,заданную вектором В.

Задача, по сути, типовая, если бы нужно было найти число.
Я верно понял теорию, проекция-это число?


И не было бы проблем. Но в ответе указан вектор и я несколько растерялся. Подскажите как решаются подобные задачи. По моему скромному разумению,разгадка кроется в разности понятий: ПРОЕКЦИЯ и ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ.

Возникло три вопроса:
1. Проекция вектора это число?
Если это число, то почему требуется найти вектор?
2.Разъясните своими словами разницу между понятием ПРОЕКЦИЯ и ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ.
3. Поясните механизм решения подобных типов задач, если в условии необходимо найти проекцию вектора и выразить эту проекцию не через число, а через вектор.

Заранее спасибо))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось
СообщениеДобавлено: 14 янв 2016, 01:38 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2490
Cпасибо сказано: 196
Спасибо получено:
780 раз в 723 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
GRAND799
Вы хотите поработать онлайн?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось
СообщениеДобавлено: 14 янв 2016, 11:23 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 дек 2015, 20:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
?
Если надо, то да.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось
СообщениеДобавлено: 14 янв 2016, 15:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2490
Cпасибо сказано: 196
Спасибо получено:
780 раз в 723 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
GRAND799
GRAND799 писал(а):
2.Разъясните своими словами разницу между понятием ПРОЕКЦИЯ и ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ.

Если рассмотреть прямоугольный треугольник, то в нем катет есть ортогональная проекция гипотенузы на ось на которой лежит катет.
Ортогональная проекция - это когда проецирующие прямые перпендикулярны прямой на которую проецируем.

Под проекцией отрезка на направленную ось следует понимать число, т.е длину проекции.

Если же на направленную ось проецируется вектор, то следует различать скалярную и векторную проекции.
Скалярная проекция вектора на направленную ось является алгебраической величиной, т.е может иметь два знака.

Векторная проекция является тоже вектором и должна иметь направление.

Если вектор образует острый угол с направлением оси, на которую ложится проекция, то считаем что проекция положительная.
Если же вектор образует с осью тупой угол, то проекция вектора на ось проекцию следует считать отрицательной.


Изображение
Изображение
Изображение


GRAND799 писал(а):
Даны вектор А (1;-3;4) и вектор В(2;-3;6). Найти ортогональную проекцию вектора А на ось,заданную вектором В.


Векторы принято обозначать маленькими буквами.
[math]\vec{a}=(1;-3;4)[/math], [math]\vec{b}=(2;-3;6)[/math]

[math]\operatorname{pr}_{ b }{ a}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{ \left| b \right| }=\frac{ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 }{ \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2} } }=\frac{ 35 }{ 7 }=5[/math] - так можно найти длину проекции с учетом знака.

Если теперь единичный вектор [math]\vec{b_{0}}[/math]умножить на эту величину получим проекцию вектора [math]\vec{a}[/math] на направление вектора [math]\vec{b}[/math].

[math]\vec{b_{0}} =\frac{ \vec{b} }{ \left| \vec{b} \right| }= \left( \frac{ 2 }{ 7 } ;\frac{ -3 }{ 7 };\frac{ 6 }{ 7 } \right)[/math] - единичный вектор по направлению [math]\vec{b}[/math].

[math]\vec{\operatorname{pr}_{ b }{ a } } =5 \cdot\vec{b_{0}} =\left( \frac{ 10 }{ 7 } ;\frac{ -15 }{ 7 };\frac{ 30 }{ 7 } \right)[/math] - векторная проекция [math]\vec{a}[/math] на [math]\vec{b}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали:
GRAND799
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось
СообщениеДобавлено: 14 янв 2016, 19:58 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 дек 2015, 20:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое за разъяснение.Надо изучать способы написания этих векторов(стрелочки), что бы выкладывать на форум. Хитрый метод решения получается, но в целом понятно.Продолжаю изучать математику. Это я к тому что вопросов будет достаточно много, все таки видеоуроки, выложенные на просторах интернета не все освещают((((

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось
СообщениеДобавлено: 12 июл 2017, 18:24 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
12 июл 2017, 13:47
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
у меня одного созрел вопрос - что за хр*нь вы изобразили на своем рисунке?
единичный вектор e = [math]\vec{b}[/math] / |[math]\vec{b}[/math]|
понимание того, что единичный вектор может задаваться числом или формулой есть, но почему, в этом случае, вы взяли такое странное отношение: вектора к его абсолютному значению?
если вектор b коллинеарен е, то тогда [math]\vec{b}[/math]=k*[math]\vec{e}[/math] зачем нужно, его делить на |b|, а не на коэф отношения векторов "k",
ну даже если e=1, вектор [math]\vec{b}[/math] равен k, те значение его длинны равно k и еще знаку +или -, следовательно k не нужно брать по модулю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортогональную проекцию вектора на ось
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 01:18 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2490
Cпасибо сказано: 196
Спасибо получено:
780 раз в 723 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
UkrFreeman

Любой вектор можно записать так:

[math]\vec{a}=\left| \vec{a} \right|\cdot \vec{a_{0} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти проекцию вектора

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Spellwing

2

71

10 янв 2017, 02:14

Найти проекцию вектора ОВ на равнодействующую сил ОМ

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

galaxygo

2

155

12 окт 2015, 22:44

Как найти проекцию вектора на вектор ?

в форуме Алгебра

Leonor19

5

136

30 сен 2016, 21:38

Найти проекцию вектора на линейную оболочку векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

92923

0

61

17 май 2017, 21:05

Как построить проекцию вектора на вектор?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

sfanter

3

181

31 окт 2015, 22:13

Найти ортогональную матрицу

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

dona_9

2

192

01 май 2016, 20:45

Найти ортогональную матрицу Q, для матрицы А

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

arreke

1

377

07 янв 2013, 20:15

Найти проекцию на ось

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Spellwing

2

68

10 янв 2017, 22:40

Найти проекцию прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

deadern192

4

434

24 дек 2012, 16:35

Найти проекцию элемента

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dauletfromast1996

1

143

17 дек 2015, 23:03


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved