Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Приведение кв формы к канон виду
СообщениеДобавлено: 01 окт 2014, 21:52 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 июл 2014, 22:48
Сообщений: 81
Cпасибо сказано: 34
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите пожалуйста пример 6.8 static.php?p=privedenie-kvadratichnoi-formy-k-kanonicheskomu-vidu

у меня там вместо 2 все 4.Так вот,подскажите, как будет выглядеть пункты 3(1) и 1(3) в решении данного примера, там у меня должны быть 2-ки впереди, или также?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приведение кв формы к канон виду
СообщениеДобавлено: 07 окт 2014, 23:23 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 июл 2014, 22:48
Сообщений: 81
Cпасибо сказано: 34
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1(1). В данную квадратичную форму переменная x_1 входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.

2(1). По ведущей переменной (x_1) выделяем полный квадрат:

\begin{gathered}q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= \Bigl[x_1^2+ 2x_1(x_2-x_3)+(x_2-x_3)^2\Bigr]-\\ -(x_2-x_3)^2+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= (x_1+x_2-x_3)^2+x_2x_3. \end{gathered}

Обозначим y_1=x_1+x_2-x_3,~y_2=x_2,~y_3=x_3, тогда получим новую квадратичную форму \widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3. Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма.

1(2). В квадратичной форме \widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3 нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение y_2y_3 разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма.

3(1). Заменяем выбранную пару переменных y_2=z_2-z_3,~y_3=z_2+z_3. Оставшуюся старую переменную y_1 принимаем за соответствующую новую y_1=z_1. Получаем квадратичную форму

\widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+(z_2-z_3)(z_2+z_3)=z_1^2+z_2^2-z_3^2.

Переходим к пункту 1 алгоритма.

1(3). В квадратичной форме \widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+z_2^2-z_3^2 нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей \Lambda= \operatorname{diag}(1,1,-1)..

Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены x=S_1y и y=S_2z с матрицами

S_1=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\qquad S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\!.

Следовательно, матрица S искомой замены x=Sz находится как произведение

S=S_1\cdot S_2= \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}\!.

Получим матрицу \Lambda квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10): \Lambda=S^TAS, где A — матрица заданной квадратичной формы (см. примеры 6.4, 6.5). Имеем

\Lambda=S^TAS= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\2&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1/2\\ -1&-1/2&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\!,

то есть \Lambda=\operatorname{diag}(1,1,-1) что соответствует найденному каноническому виду.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Приведение квадратичной формы к каноническому виду

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

[Alexa]

5

319

03 июн 2021, 23:13

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

[dominika]

3

510

25 окт 2014, 17:38

Вопрос по - Привести ур. к канон. виду и назвать поверхн

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Laplacian

13

638

28 июн 2018, 20:20

Привести урав-ие поверхности 2ого порядка к канон. виду

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Dirolina

0

285

28 май 2015, 03:50

Привести квадратичную форму к канон. виду методом Лагранжа

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

djoade

2

325

30 июн 2016, 20:06

Приведение суммы к виду

в форуме Алгебра

rocketride

2

433

01 ноя 2014, 14:59

Приведение к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

photographer

1

330

25 ноя 2016, 22:37

Приведение к каноническому виду

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

matviiv8

0

146

30 мар 2022, 10:04

Приведение к каноническому виду

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

zlata

1

535

15 мар 2016, 18:30

Приведение УЧП к каноническому виду

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

SteamEngineAmur

0

357

14 июн 2015, 11:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 41


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved