Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ahgel1990 |
|
|
у меня там вместо 2 все 4.Так вот,подскажите, как будет выглядеть пункты 3(1) и 1(3) в решении данного примера, там у меня должны быть 2-ки впереди, или также? |
||
Вернуться к началу | ||
ahgel1990 |
|
|
1(1). В данную квадратичную форму переменная x_1 входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.
2(1). По ведущей переменной (x_1) выделяем полный квадрат: \begin{gathered}q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= \Bigl[x_1^2+ 2x_1(x_2-x_3)+(x_2-x_3)^2\Bigr]-\\ -(x_2-x_3)^2+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= (x_1+x_2-x_3)^2+x_2x_3. \end{gathered} Обозначим y_1=x_1+x_2-x_3,~y_2=x_2,~y_3=x_3, тогда получим новую квадратичную форму \widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3. Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма. 1(2). В квадратичной форме \widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3 нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение y_2y_3 разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма. 3(1). Заменяем выбранную пару переменных y_2=z_2-z_3,~y_3=z_2+z_3. Оставшуюся старую переменную y_1 принимаем за соответствующую новую y_1=z_1. Получаем квадратичную форму \widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+(z_2-z_3)(z_2+z_3)=z_1^2+z_2^2-z_3^2. Переходим к пункту 1 алгоритма. 1(3). В квадратичной форме \widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+z_2^2-z_3^2 нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей \Lambda= \operatorname{diag}(1,1,-1).. Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены x=S_1y и y=S_2z с матрицами S_1=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\qquad S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\!. Следовательно, матрица S искомой замены x=Sz находится как произведение S=S_1\cdot S_2= \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}\!. Получим матрицу \Lambda квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10): \Lambda=S^TAS, где A — матрица заданной квадратичной формы (см. примеры 6.4, 6.5). Имеем \Lambda=S^TAS= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\2&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1/2\\ -1&-1/2&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\!, то есть \Lambda=\operatorname{diag}(1,1,-1) что соответствует найденному каноническому виду. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
319 |
03 июн 2021, 23:13 |
|
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
510 |
25 окт 2014, 17:38 |
|
Вопрос по - Привести ур. к канон. виду и назвать поверхн | 13 |
638 |
28 июн 2018, 20:20 |
|
Привести урав-ие поверхности 2ого порядка к канон. виду
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
285 |
28 май 2015, 03:50 |
|
Привести квадратичную форму к канон. виду методом Лагранжа | 2 |
325 |
30 июн 2016, 20:06 |
|
Приведение суммы к виду
в форуме Алгебра |
2 |
433 |
01 ноя 2014, 14:59 |
|
Приведение к каноническому виду | 1 |
330 |
25 ноя 2016, 22:37 |
|
Приведение к каноническому виду | 0 |
146 |
30 мар 2022, 10:04 |
|
Приведение к каноническому виду
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
535 |
15 мар 2016, 18:30 |
|
Приведение УЧП к каноническому виду | 0 |
357 |
14 июн 2015, 11:13 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 41 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |