Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Построить кривую второго порядка
СообщениеДобавлено: 18 май 2014, 03:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 май 2014, 09:49
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]14x^{2}+24xy+21y^{2}-4x+18y-139=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить кривую второго порядка
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 20:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2598
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
748 раз в 703 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Алгоритм см. здесь (метод поворота и выделения полного квадрата) или здесь (метод инвариантов). Нарисовать кривую для проверки множно здесь (просто вводите уравнение слева).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Построить кривую второго порядка
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 21:29 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением кривой второго порядка

[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0,[/math]

находим коэффициенты

[math]a_{11}= 14,\quad 2a_{12}= 24,\quad a_{22}= 21,\quad 2a_1 = - 4,\quad 2a_2= 18,\quad a_0 = 139[/math]

Поскольку в заданном уравнении имеется произведение неизвестных [math](a_{12}=12\ne0)[/math], поэтому необходимо сделать поворот системы координат на угол [math]\varphi~\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2},~ \sin \varphi> 0,\cos \varphi > 0\right)[/math]

[math]\begin{gathered}\operatorname{ctg}2\varphi = \frac{{{a_{11}}-{a_{22}}}}{{2{a_{12}}}}= \frac{{14 - 21}}{{24}}= \frac{{- 7}}{{24}}\Leftrightarrow \operatorname{tg}2\varphi = - \frac{{24}}{7}\Leftrightarrow \frac{{2\operatorname{tg}\varphi}}{{1 -{{\operatorname{tg}}^2}\varphi}}= - \frac{{24}}{7}\hfill \\ \operatorname{tg}\varphi = t > 0 \hfill \\ \frac{{2t}}{{1 -{t^2}}}= - \frac{{24}}{7}\Rightarrow 12{t^2}- 7t - 12 = 0 \Rightarrow t = \operatorname{tg}\varphi = \frac{4}{3}\hfill \\ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\varphi}}= \frac{1}{\sqrt{1 +(4\!\!\not{\phantom{|}}\,3)^2}}= \frac{3}{5}\hfill \\ \sin \varphi = \sqrt{1 -\cos^2\varphi}= \sqrt{1 -{{\left({\frac{3}{5}}\right)}^2}}= \frac{4}{5}\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Делаем поворот системы координат

[math]\left\{\begin{gathered}x = x_1\cos \varphi - y_1\sin \varphi = \frac{3}{5}x_1 - \frac{4}{5}y_1, \hfill \\ y = x_1\sin \varphi + y_1\cos \varphi = \frac{4}{5}x_1 + \frac{3}{5}y_1. \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]

[math]14{\left({\frac{3x_1 - 4y_1}{5}}\right)^2}+ 21\left({\frac{{3x_1 - 4y_1}}{5}}\right)\!\!\left({\frac{{4x_1 + 3y_1}}{5}}\right) +{\left({\frac{4x_1 + 3y_1}{5}}\right)^2}- 3\left({\frac{{3x_1 - 4y_1}}{5}}\right) + 18\left({\frac{{4x_1 + 3y_1}}{5}}\right) - 139 = 0[/math]

Или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,

[math]30x_1^2 + 12x_1 + 5y_1^2 + 14y_1- 139 = 0[/math]

Выделив полные квадраты, имеем

[math]30\!\left(x_1+\frac{1}{5}\right)^2+5\!\left(y_1+\frac{7}{5}\right)^2-150=0[/math]

Дальше, думаю, справитесь самостоятельно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать кривую второго порядка и построить её

в форуме Геометрия

shesha

1

188

04 дек 2023, 18:52

Построить поверхность второго порядка

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

gail-ul

2

313

17 янв 2017, 21:27

Построить поверхность второго порядка

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Liza1990kliza

1

156

04 дек 2019, 15:12

Как построить кривую и касательную?

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

1

372

27 янв 2016, 06:49

В полярной СК построить кривую

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

stlt228

6

423

12 апр 2023, 16:58

Построить интегральную кривую

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Anastasiia2801

0

483

01 июн 2016, 16:56

Построить кривую, заданную уравнением

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

maxfael

5

885

09 ноя 2015, 19:38

Упростить уравнение и построить кривую

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

TimaNowiz

0

302

12 ноя 2018, 01:22

Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

anastasiya bo

4

3579

25 дек 2014, 16:41

Построить кривую в полярной системе координат

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

pg333

1

250

08 июн 2020, 14:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved