Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33229
Страница 1 из 1

Автор:  hanna [ 10 май 2014, 20:26 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой

Помогите, пожалуйста, найти уравнение прямой, проходящей через точку M(2,3,1) и перпендикулярно прямой [math]\frac{ x+1 }{ 2 } =\frac{ y }{ -1 } =\frac{ z-2 }{ 3 }[/math]

Как на плоскости решать такое понятно, в пространстве не знаю :nails:

Автор:  hanna [ 10 май 2014, 21:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой

Разве не через пересекающиеся плоскости нужно находить искомую прямую?

Автор:  vvvv [ 11 май 2014, 12:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой

Вообще говоря , задача поставлена некорректно т.к. таких прямых бесконечно много.
Если бы в условии задачи было дополнительно "... и пресекающую данную прямую". Тогда задача была бы корректна (однозначна).
Добавьте это условие и найдите такую прямую, она будет отвечать условию задачи.
Сделайте так:
1.Через заданную точку проведите плоскость, перпендикулярную заданной прямой.
2.Найдите точку пересечения заданной прямой и построенной плоскости.
3.Проведите прямую через заданную и найденную точки - это будет искомая прямая.
Желаю успеха.

Автор:  Alexdemath [ 11 май 2014, 13:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой

Скорее всего, vvvv прав: подразумевается, что прямые должны пересекаться.

Тогда ещё можно решить, используя условие ортогональности прямых [math]a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0[/math] и необходимое условие пересечения прямых [math]\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}=0[/math]

Данная прямая: [math]\frac{ x-(-1) }{ 2 } =\frac{ y-0 }{ -1 } =\frac{ z-2 }{ 3 }[/math], искомая прямая: [math]\frac{x-2}{a_2}=\frac{y-3}{b_2}=\frac{z-1}{c_2}[/math].

[math]\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2-(-1) & 3-0 & 1-2 \\ 2 & -1 & 3 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}=\ldots=8a_2-11b_2-9c_2=0[/math]

[math]a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=2a_2-b_2+3c_2=0[/math]

Следовательно, направляющий вектор [math]\vec{n}_2=\{a_2,b_2,c_2\}[/math] искомой прямой совпадает с направляющим вектором [math]\vec{n}[/math] прямой [math]\begin{cases}8x-11y-9z=0,\\ 2x-y+3z=0.\end{cases}[/math]
[math]\vec{n}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & -11 & -9 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}=\ldots[/math]

Автор:  vvvv [ 11 май 2014, 17:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой

Задачу можно решить гораздо проще, если заметить, что точка, принадлежащая заданной прямой M1(-1;0;2), есть точка пересечения искомой прямой с заданной . Т.е. сразу записываем каноническое уравнение искомой прямой :)
[math](x-2)/3=(y-3)/3=(z-1)/-1[/math]

Автор:  Alexdemath [ 11 май 2014, 17:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой

vvvv, это частный случай, преподу может не понравиться.

Автор:  vvvv [ 11 май 2014, 18:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой

Alexdemath писал(а):
vvvv, это частный случай, преподу может не понравиться.

Напротив, показав, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю, что доказывает совпадение точки пересечения прямых с точкой, заданной в уравнении прямой ТС покажет понимание предмета, а преподаватель больше таких уравнений давать не будет (частных случаев) :) Хотя, может он такое уравнение дал специально.

Автор:  Alexdemath [ 12 май 2014, 11:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой

Нашел в учебничке:

Если [math]\ell_2\perp\ell_1~(\ell_1\cap \ell_2\ne\varnothing)[/math], где [math]\ell_1\colon \frac{x-x_1}{a_1}= \frac{y-y_1}{b_1}= \frac{z-z_1}{c_1},~ \ell_2\colon \frac{x-x_2}{a_2}= \frac{y-y_2}{b_2}= \frac{z-z_2}{c_2}[/math],

[math]M_1(x_1,y_1,z_1),~M_2(x_2,y_2,z_2),~\vec{n}_1= \{a_1,b_1,c_1\},~\vec{n}_2= \{a_2,b_2,c_2\}[/math],

[math]\overrightarrow{M_1M_2}= \{x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\}[/math],

то [math]\vec{n}_2= \bigl[\vec{n}_1\times \bigl[\overrightarrow{M_1M_2}\times \vec{n}_1\bigr]\bigr][/math].

В принципе также, как я и предлагал, только у меня чуть понятней :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/