Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| spirt1g |
|
|
|
дано уравнение [math]3{x^2} - 2\sqrt 3 xy + {y^2} + 4 = 0[/math] нужно его привести к каноническому виду, я изучил теоретические материалы, данные на этом сайте, всё довольно доступно объяснено, но там рассматриваются примеры для центральной кривой, а как быть если она нецентральная? те [math]{a_{11}} \cdot {a_{22}} - a_{12}^2 = 0[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Она у вас вообще мнимая. Это две мнимых параллельных прямых.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| spirt1g |
|
|
|
mad_math писал(а): Она у вас вообще мнимая. Это две мнимых параллельных прямых. не спорю, а как придти к этому? |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Заметить, что выражение [math]3x^2-2\sqrt{3}xy+y^2[/math] является полным квадратом.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| spirt1g |
|
|
|
mad_math писал(а): Заметить, что выражение [math]3x^2-2\sqrt{3}xy+y^2[/math] является полным квадратом. мне кажется этого мало, а где новый центр? я дошёл вот до этого момента тк [math]{a_{12}} = - \sqrt 3 \ne 0[/math], то делаем поворот системы на угол [math]\varphi[/math] [math]ctg2\varphi = \frac{{{a_{11}} - {a_{22}}}}{{2{a_{12}}}} = \frac{{3 - 1}}{{ - 2\sqrt 3 }} = \frac{2}{{ - 2\sqrt 3 }} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{3}[/math] далее подставим в формулы поворота: [math]\left\{ \begin{gathered} x = x'cos\varphi - y'sin\varphi \hfill \\ y = x'sin\varphi + y'\cos \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] то есть: [math]\left\{\begin{gathered}x = \frac{1}{2}x' - \frac{{\sqrt 3}}{2}y' \hfill \\ y = \frac{{\sqrt 3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math] подставим в исходные формулы и получим: [math]\begin{gathered} 3{(\frac{1}{2}x' - \frac{{\sqrt 3 }}{2}y')^2} - 2\sqrt 3 (\frac{1}{2}x' - \frac{{\sqrt 3 }}{2}y')(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x' + \frac{1}{2}y') + {(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x' + \frac{1}{2}y')^2} + 4 = 0 \hfill \\ 3(\frac{1}{4}{(x')^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x'y' + \frac{3}{4}{(y')^2}) - 2\sqrt 3 (\frac{{\sqrt 3 }}{4}{(x')^2} + \frac{1}{4}x'y' - \frac{3}{4}x'y' + \frac{{\sqrt 3 }}{4}{(y')^2}) + (\frac{3}{4}{(x')^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x'y' + \frac{1}{4}{(y')^2}) + 4 = 0 \hfill \\ \frac{{(3{{(x')}^2} - 6\sqrt 3 x'y' + 9{{(y')}^2})}}{4} - \frac{{(6{{(x')}^2} + 4\sqrt 3 x'y' - 6\sqrt 3 {{(y')}^2})}}{4} + \frac{{(3{{(x')}^2} + 2\sqrt 3 x'y' + {{(y')}^2})}}{4} + 4 = 0 \hfill \\ 8\sqrt 3 x'y' + (10 - 6\sqrt 3 )y{'^2} + 16 = 0 \hfill \\\end{gathered}[/math] получилось как-то так) что дальше делать? и вообще, ход мыслей у меня хотя бы правильный? |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
spirt1g писал(а): мне кажется этого мало, а где новый центр? А вы считаете, что у параллельных прямых может быть один центр? ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
spirt1g писал(а): получилось как-то так) что дальше делать? Поворот делается для того, чтобы избавиться от произведения [math]xy[/math], а у вас оно осталось. Выделите полный квадрат и не мучайтесь. |
||
| Вернуться к началу | ||
| spirt1g |
|
|
|
смотрите:
[math]{(\sqrt 3 x - y)^2} = - 4[/math] это параллельные прямые, как их "нарисовать" и про центр я имел ввиду, где новое начало координат |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
spirt1g писал(а): смотрите: Никак. Они же мнимые.[math]{(\sqrt 3 x - y)^2} = - 4[/math] это параллельные прямые, как их "нарисовать" spirt1g писал(а): и про центр я имел ввиду, где новое начало координат Там же, где и старое. Тут только поворот системы координат нужен. Формулы поворота вы нашли. Можно было их найти из полученного: [math]{(\sqrt 3 x - y)^2} = - 4[/math], следовательно, уравнения прямых [math]\sqrt 3 x - y=\pm 2i[/math] или [math]y=\sqrt 3 x \pm 2i[/math] Откуда угловой коэффициент: [math]k=\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{3}[/math], тогда [math]\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{\operatorname{tg}^2\alpha+1}}=\pm\frac{1}{2},\,\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}[/math] И формулы поворота: [math]\left\{\!\begin{aligned}& x=\frac{x'}{2}-\frac{\sqrt{3}y'}{2}\\ & y=\frac{\sqrt{3}x'}{2}+\frac{y'}{2}\end{aligned}\right.[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду | 7 |
692 |
16 фев 2015, 14:34 |
|
| Приведение к каноническому виду уравнения поверхности | 1 |
487 |
07 апр 2015, 16:12 |
|
| Приведение к каноническому виду | 0 |
178 |
30 мар 2022, 10:04 |
|
|
Приведение к каноническому виду
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
555 |
15 мар 2016, 18:30 |
|
| Приведение УЧП к каноническому виду | 0 |
383 |
14 июн 2015, 11:13 |
|
| Приведение к каноническому виду | 1 |
359 |
25 ноя 2016, 22:37 |
|
| Приведение кривой к каноническому виду | 1 |
267 |
16 май 2020, 16:07 |
|
| Приведение линии 2 порядка к каноническому виду | 37 |
1677 |
04 фев 2015, 17:34 |
|
| Приведение ур. кривой 2-ого порядка к каноническому виду | 15 |
600 |
07 окт 2020, 21:54 |
|
|
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
354 |
03 июн 2021, 23:13 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |