Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Приведение уравнения КВП к каноническому виду
СообщениеДобавлено: 01 мар 2014, 20:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 янв 2013, 17:40
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
доброго времени суток всем
дано уравнение [math]3{x^2} - 2\sqrt 3 xy + {y^2} + 4 = 0[/math]
нужно его привести к каноническому виду, я изучил теоретические материалы, данные на этом сайте, всё довольно доступно объяснено, но там рассматриваются примеры для центральной кривой, а как быть если она нецентральная?
те [math]{a_{11}} \cdot {a_{22}} - a_{12}^2 = 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду
СообщениеДобавлено: 01 мар 2014, 20:25 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Она у вас вообще мнимая. Это две мнимых параллельных прямых.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду
СообщениеДобавлено: 01 мар 2014, 23:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 янв 2013, 17:40
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Она у вас вообще мнимая. Это две мнимых параллельных прямых.

не спорю, а как придти к этому?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду
СообщениеДобавлено: 02 мар 2014, 01:55 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Заметить, что выражение [math]3x^2-2\sqrt{3}xy+y^2[/math] является полным квадратом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду
СообщениеДобавлено: 02 мар 2014, 13:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 янв 2013, 17:40
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Заметить, что выражение [math]3x^2-2\sqrt{3}xy+y^2[/math] является полным квадратом.

мне кажется этого мало, а где новый центр?
я дошёл вот до этого момента
тк [math]{a_{12}} = - \sqrt 3 \ne 0[/math], то делаем поворот системы на угол [math]\varphi[/math]
[math]ctg2\varphi = \frac{{{a_{11}} - {a_{22}}}}{{2{a_{12}}}} = \frac{{3 - 1}}{{ - 2\sqrt 3 }} = \frac{2}{{ - 2\sqrt 3 }} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{3}[/math]
далее подставим в формулы поворота:
[math]\left\{ \begin{gathered} x = x'cos\varphi - y'sin\varphi \hfill \\ y = x'sin\varphi + y'\cos \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
то есть:
[math]\left\{\begin{gathered}x = \frac{1}{2}x' - \frac{{\sqrt 3}}{2}y' \hfill \\ y = \frac{{\sqrt 3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]
подставим в исходные формулы и получим:
[math]\begin{gathered} 3{(\frac{1}{2}x' - \frac{{\sqrt 3 }}{2}y')^2} - 2\sqrt 3 (\frac{1}{2}x' - \frac{{\sqrt 3 }}{2}y')(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x' + \frac{1}{2}y') + {(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x' + \frac{1}{2}y')^2} + 4 = 0 \hfill \\ 3(\frac{1}{4}{(x')^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x'y' + \frac{3}{4}{(y')^2}) - 2\sqrt 3 (\frac{{\sqrt 3 }}{4}{(x')^2} + \frac{1}{4}x'y' - \frac{3}{4}x'y' + \frac{{\sqrt 3 }}{4}{(y')^2}) + (\frac{3}{4}{(x')^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x'y' + \frac{1}{4}{(y')^2}) + 4 = 0 \hfill \\ \frac{{(3{{(x')}^2} - 6\sqrt 3 x'y' + 9{{(y')}^2})}}{4} - \frac{{(6{{(x')}^2} + 4\sqrt 3 x'y' - 6\sqrt 3 {{(y')}^2})}}{4} + \frac{{(3{{(x')}^2} + 2\sqrt 3 x'y' + {{(y')}^2})}}{4} + 4 = 0 \hfill \\ 8\sqrt 3 x'y' + (10 - 6\sqrt 3 )y{'^2} + 16 = 0 \hfill \\\end{gathered}[/math]
получилось как-то так) что дальше делать?
и вообще, ход мыслей у меня хотя бы правильный?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду
СообщениеДобавлено: 02 мар 2014, 16:09 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
spirt1g писал(а):
мне кажется этого мало, а где новый центр?
А вы считаете, что у параллельных прямых может быть один центр? :shock:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду
СообщениеДобавлено: 02 мар 2014, 16:11 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
spirt1g писал(а):
получилось как-то так) что дальше делать?
Поворот делается для того, чтобы избавиться от произведения [math]xy[/math], а у вас оно осталось. Выделите полный квадрат и не мучайтесь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду
СообщениеДобавлено: 02 мар 2014, 16:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 янв 2013, 17:40
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
смотрите:
[math]{(\sqrt 3 x - y)^2} = - 4[/math]
это параллельные прямые, как их "нарисовать"
и про центр я имел ввиду, где новое начало координат

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду
СообщениеДобавлено: 02 мар 2014, 18:54 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
spirt1g писал(а):
смотрите:
[math]{(\sqrt 3 x - y)^2} = - 4[/math]
это параллельные прямые, как их "нарисовать"
Никак. Они же мнимые.

spirt1g писал(а):
и про центр я имел ввиду, где новое начало координат
Там же, где и старое. Тут только поворот системы координат нужен. Формулы поворота вы нашли.
Можно было их найти из полученного:
[math]{(\sqrt 3 x - y)^2} = - 4[/math], следовательно, уравнения прямых

[math]\sqrt 3 x - y=\pm 2i[/math] или

[math]y=\sqrt 3 x \pm 2i[/math]

Откуда угловой коэффициент: [math]k=\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{3}[/math], тогда
[math]\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{\operatorname{tg}^2\alpha+1}}=\pm\frac{1}{2},\,\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

И формулы поворота:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& x=\frac{x'}{2}-\frac{\sqrt{3}y'}{2}\\ & y=\frac{\sqrt{3}x'}{2}+\frac{y'}{2}\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

student_math

7

692

16 фев 2015, 14:34

Приведение к каноническому виду уравнения поверхности

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

DRON1996

1

487

07 апр 2015, 16:12

Приведение к каноническому виду

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

matviiv8

0

178

30 мар 2022, 10:04

Приведение к каноническому виду

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

zlata

1

555

15 мар 2016, 18:30

Приведение УЧП к каноническому виду

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

SteamEngineAmur

0

383

14 июн 2015, 11:13

Приведение к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

photographer

1

359

25 ноя 2016, 22:37

Приведение кривой к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

zoomr

1

267

16 май 2020, 16:07

Приведение линии 2 порядка к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

swax

37

1677

04 фев 2015, 17:34

Приведение ур. кривой 2-ого порядка к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Serafim

15

600

07 окт 2020, 21:54

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

[Alexa]

5

354

03 июн 2021, 23:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved