Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Плоский треугольник в восьмимерном пространстве
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=26545
Страница 1 из 1

Автор:  ssn1 [ 28 сен 2013, 13:32 ]
Заголовок сообщения:  Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

Есть некий случайный процесс во времени, который характеризуется восемью параметрами для каждого момента времени, полученными в результате эксперимента. Параметры однотипны. Для конкретности - пусть они измеряются в метрах.

Для изучения и анализа этого процесса мне достаточно задавать треугольники в этом пространстве тремя временными точками. По этим точкам я хочу находить длины сторон треугольника и все его внутренние углы. Потом, как говориться, дело техники.

Однако, теорема Пифагора, справедливая для двух- и трёхмерных пространств не работает в восьмимерном. Расчёт расстояния между точками, как квадратный корень из суммы квадратов длин отрезков на осях, даёт неправильный результат - сумма двух сторон треугольника бывает (!) меньше третьей стороны!

Как рассчитывать длину сторон треугольника в восьмимерном пространстве?

Я даже согласен, чтобы это пространство не было ортогональным - пусть оно будет задано в косоугольных координатах.
Главное, чтобы сумма двух сторон треугольника всегда была больше третьей и сумма внутренних углов равнялась 180 градусов.
И чтобы вращение этого треугольника в восьмимерном пространстве не приводило к изменению длин его сторон.

Готов выложить для примера необходимый набор восьмимерных точек этого процесса.

Автор:  mad_math [ 28 сен 2013, 13:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

ssn1 писал(а):
Я даже согласен, чтобы это пространство не было ортогональным - пусть оно будет задано в косоугольных координатах.
Метрические свойства в косоугольных координатах не сохраняются.

Автор:  ssn1 [ 28 сен 2013, 13:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

mad_math писал(а):
ssn1 писал(а):
Я даже согласен, чтобы это пространство не было ортогональным - пусть оно будет задано в косоугольных координатах.
Метрические свойства в косоугольных координатах не сохраняются.

Не сохраняются относительно ортогональных?

Так я согласен изначально задавать процесс в косоугольных координатах.

Автор:  mad_math [ 28 сен 2013, 14:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

Не сохраняются относительно других косоугольных и ортогональных тоже. Т.е. в разных косоугольных координатах треугольник будет иметь разные длины сторон.
А формула длин сторон от количества измерений вроде бы не меняется: корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат концов отрезка.

Автор:  ssn1 [ 28 сен 2013, 14:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

mad_math писал(а):
Не сохраняются относительно других косоугольных и ортогональных тоже. Т.е. в разных косоугольных координатах треугольник будет иметь разные длины сторон.

Меня это устроит. Пусть даже "внутренние" восьмимерные расстояния в этом пространстве отличаются от метров, которыми измеряются его оси.

Я готов по множеству экспериментальных точек рассчитать параметры восьмимерного косоугольного пространства и в этом пространстве задавать плоские треугольники. Но как это сделать?


mad_math писал(а):
А формула длин сторон от количества измерений вроде бы не меняется: корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат концов отрезка.

Меняется.

Это формула для ортогональных осей. А уже добавление четвёртого ортогонального измерения к трём предыдущим, как-то, не укладывается в сознании...

Автор:  mad_math [ 28 сен 2013, 15:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

ssn1 писал(а):
А уже добавление четвёртого ортогонального измерения к трём предыдущим, как-то, не укладывается в сознании
Представьте себе n-мерное пространство, а потом положите n=8. :D1

Автор:  mad_math [ 28 сен 2013, 15:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

ssn1 писал(а):
Меняется.
Нет. Таки я была права http://ru.wikipedia.org/wiki/N-%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F#.D0.A0.D0.B0.D1.81.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.8F.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B8_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BC.D0.B0_.D0.9F.D0.B8.D1.84.D0.B0.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B0

В N-мерном пространстве расстояние между двумя точками

[math]A = \left(x_{1A}, x_{2A}, x_{3A}, ~...~ x_{NA}\right)[/math];
[math]B = \left(x_{1B}, x_{2B}, x_{3B}, ~...~ x_{NB}\right)[/math]

можно найти по формуле:

[math]R_{AB}^2 = \sum_{i=1}^N \left(x_{iB}-x_{iA}\right)^2 = \sum_{i=1}^N \Delta x_{iAB}^2[/math].


Вот только в косоугольных координатах расстояния всё таки обычно не ищут.

Автор:  Human [ 28 сен 2013, 15:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

ssn1 писал(а):
Расчёт расстояния между точками, как квадратный корень из суммы квадратов длин отрезков на осях, даёт неправильный результат - сумма двух сторон треугольника бывает (!) меньше третьей стороны!


В евклидовой (то бишь стандартной) метрике такое невозможно. Покажите, как Вы это получили.

ssn1 писал(а):
Я даже согласен, чтобы это пространство не было ортогональным


Нет такого понятия "ортогональное пространство" (по крайней мере, мне лично такое не знакомо), бывает ортогональный базис в этом пространстве, и, соответственно, ортогональные координаты (координаты вектора в ортогональном базисе).

Автор:  ssn1 [ 28 сен 2013, 16:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

Human писал(а):
ssn1 писал(а):
Расчёт расстояния между точками, как квадратный корень из суммы квадратов длин отрезков на осях, даёт неправильный результат - сумма двух сторон треугольника бывает (!) меньше третьей стороны!


В евклидовой (то бишь стандартной) метрике такое невозможно. Покажите, как Вы это получили.
...

Беру паузу. Надо код программы проверить.

Это тот случай, когда моя ошибка меня обрадует.

Автор:  ssn1 [ 28 сен 2013, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Плоский треугольник в восьмимерном пространстве

Нашёл причину треугольной ошибки: погрешность численных расчётов.

Применяю в формулах много встроенных и своих функций с расчётами на грани точности переменных с плавающей точкой. Вот и вылазили иногда ошибки. А я на формулу грешил.
Буду переделывать.

Вопрос закрыт.

СПАСИБО!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/