| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Уравнение движения точки по окружности в наклонной плоскости http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=26012 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Faydaen [ 22 авг 2013, 14:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Уравнение движения точки по окружности в наклонной плоскости |
Всем привет, я довольно плохо ориентируюсь в математике. И мне нужно узнать уравнение полета точки по окружности в пространстве. Если бы точка летела по окружности на плоскости то можно было бы использовать уравнение привода полярных координат к декартовым. [math]\begin{cases} x = R \sin \alpha \\ y = R \cos \alpha \end{cases}[/math] где α - это угол, R - радиус. Но как будет выглядеть уравнение если окружность наклонена например на 45 градусов? ( Нужно знать x,y и z, а альфа зависит от времени ) я уже целый день размышляю над этим уравнением и пришел к следующим выводам: Есть ещё один угол (назовем его β) который изменяется от π/4 до -π/4 и обратно от -π/4 до π/4 (в то время как α изменяется от 0 до 2π) При получении x и y нужно учитывать что это уже не сам радиус а его проекция которая равна R cos(β) Подскажите уравнение, а то мозг уже взрывается? |
|
| Автор: | Andy [ 23 авг 2013, 07:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение движения точки по окружности в наклонной плоскости |
Faydaen Попробуйте рассмотреть движение точки в сферической системе координат. Или (как вариант) Вам непонятно, как выполняется переход от одной системы координат к другой? А для чего Вам это нужно? |
|
| Автор: | Hagrael [ 23 авг 2013, 09:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение движения точки по окружности в наклонной плоскости |
Faydaen, для этого можно воспользоваться матрицами. Вы знаете уравнения для полета точки относительно одного 2-мерного базиса, но хотите узнать их для некоторого другого, 3-мерного. Так вот, если у нас есть какой-нибудь вектор [math]\vec{a}[/math] в этом самом 3-мерном пространстве, то ему можно сопоставить координаты относительно этого базиса, т. е. можно записать его немного по-другому [math]\vec{a}=\begin{Vmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{Vmatrix}[/math]. И векторы самого 2-мерного базиса тоже можно представить в таком виде. Можно создать матрицу [math]B=\begin{Vmatrix}\vec{x} && \vec{y}\end{Vmatrix}[/math], которая будет содержать этот самый 2-мерный базис. Таким образом, любой вектор [math]\vec{b}[/math], имеющий координаты [math]x[/math] и [math]y[/math] относительно 2-мерного базиса может быть представлен в виде [math]\vec{a}=B\vec{b}[/math]. Таким образом, каким бы ни был угол [math]\alpha[/math] на данный момент, всегда можно записать [math]\vec{a}=B\begin{Vmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{Vmatrix}[/math]. Ну а далее если вы знаете координаты векторов 2-мерного базиса относительно вашего нового 3-мерного базиса, то все вы можете уже получить конкретный ответ. Я понимаю, что с матрицами вы, возможно, не знакомы, и в этом случае вы можете просто сказать мне координаты векторов 2-мерного базиса относительно 3-мерного базиса, и я дам вам ответ. |
|
| Автор: | Faydaen [ 23 авг 2013, 17:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение движения точки по окружности в наклонной плоскости |
Andy писал(а): А для чего Вам это нужно? Я хочу сделать модель атома кислорода, и нужно чтоб 12 шариков (изображающие электроны) летали по орбитам. Да я знаю что электроны это не шарики, и то что их положение определено вероятностью, а не точными координатами |
|
| Автор: | Faydaen [ 23 авг 2013, 18:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение движения точки по окружности в наклонной плоскости |
Andy писал(а): А для чего Вам это нужно? Я хочу сделать модель атома кислорода (на компютере), и нужно чтоб 12 шариков (изображающие электроны) летали по орбитам. Да я знаю что электроны это не шарики, и то что их положение определено вероятностью, а не точными координатами Hagrael писал(а): Faydaen, для этого можно воспользоваться матрицами. трех мерное простарнсвто заданно 3 взаимноперпендикулрными векторами [math]A=\begin{Vmatrix}\vec{a_{2}}=(0,0,1) \\ \vec{a_{1}}=(1,0,0) \\ \vec{a_{2}}=(0,1,0) \end{Vmatrix}[/math] плосткасть в таком простарансве повернута на 45 градусов и может быть задана двумя веторами [math]B=\begin{Vmatrix}\vec{b_{1}}=(1,1,0) \\ \vec{b_{2}}=(0,0,1) \end{Vmatrix}[/math] Но дальше я не понимаю |
|
| Автор: | Hagrael [ 23 авг 2013, 19:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение движения точки по окружности в наклонной плоскости |
Faydaen, классная задумка! Потом покажете? ![]() Кстати, сразу предупреждаю, я там с [math]Latex[/math]-ом немного ошибся, так что теперь все будет выглядеть немного по-другому, но теперь правильно ![]() Тогда получается, что: [math]\vec{a}=B\vec{b}=\begin{Vmatrix}\vec{b}_1 && \vec{b}_2\end{Vmatrix}\vec{b}=\begin{Vmatrix}1&&0\\1&&0\\0&&1\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\cos\alpha\\ \cos\alpha\\\sin\alpha\end{Vmatrix}[/math] В общем, если [math]\vec{b}_1=\begin{Vmatrix}1\\1\\0\end{Vmatrix}[/math], а [math]\vec{b}_2=\begin{Vmatrix}0\\0\\1\end{Vmatrix}[/math], то тогда [math]\vec{a}=B\vec{b}=\begin{Vmatrix}\cos\alpha\\ \cos\alpha\\\sin\alpha\end{Vmatrix}[/math]. Но тут есть одна тонкость: если базис плоскости, в которой происходит вращение вы делаете таким, каким вы его описали выше, то тогда получится, что вращение на самом деле будет по эллипсу, и я объясню почему. Дело в том, что исходный 3-мерный базис у вас состоит из векторов равной длины, а базис в плоскости состоит из векторов разной длины. Почему? Потому что у вас [math]\vec{b}_1=\begin{Vmatrix}1\\1\\0\end{Vmatrix}[/math] (то есть вектор длины [math]\sqrt{2}[/math], не единичный), а вот вектор [math]\vec{b}_2=\begin{Vmatrix}0\\0\\1\end{Vmatrix}[/math] - единичный вектор, как раз такой, какой нам нужен. То есть их длины различные. А ведь если векторы имеют равную длину, то тогда если координаты точки относительно них будут удовлетворять написанным вами уравнениям, точка будет двигаться по окружности. Если векторы не равной длины, то получится как бы растяжение вдоль одной из осей круга, таким образом получится эллипс. В общем, вектор [math]\vec{b}_2[/math] тоже стоит сделать единичным. И сделать это очень легко: [math]\vec{b}_2=\begin{Vmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{Vmatrix}[/math], таким образом этот вектор лежит в нужной нам плоскости и является единичным. Вот так Только теперь нужно пересчитать координаты относительно вашего 3-мерного базиса. [math]\vec{a}=B\vec{b}=\begin{Vmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} && 0\\\frac{1}{\sqrt{2}} && 0\\0 && 1\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha\\\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{Vmatrix}[/math].Вот и все
|
|
| Автор: | Hagrael [ 23 авг 2013, 19:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение движения точки по окружности в наклонной плоскости |
И все-таки, если вам не будет трудно, покажите потом результат своей работы, ОК?
|
|
| Автор: | Faydaen [ 04 сен 2013, 18:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение движения точки по окружности в наклонной плоскости |
Вот, у меня наконец дошли руки чтобы это реализовать. Вот ссылка http://web-3d.org/demo/Oxygenium/. Будет работать только современных браузерах (в Frefox, Chrome). НЕ РАБОТАЕТ internet explorer, в опере и прочих браузерах не тестировал. Буду рад если вы напишите ваше мнение) |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|