Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь улитки Паскаля
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=23345
Страница 1 из 1

Автор:  Olga Aleshina [ 11 апр 2013, 13:42 ]
Заголовок сообщения:  Площадь улитки Паскаля

Помогите найти площадь улитки Паскаля:
[math]p=\sqrt{2}(2-3sin( \varphi + \frac{\pi}{5}))[/math].
Здесь нужно найти площадь двух фигур: самой улитки и ее узла.
Площадь самой улитки я нашла: это интеграл-
[math]\int\limits_{0}^{2 \pi}( \sqrt{2}(2-3sin( \varphi + \frac{\pi}{5})))^{2}d \varphi=17 \pi[/math].
А как найти площадь узла? Какие пределы интегрирования будут в этом случае?

Автор:  Human [ 11 апр 2013, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь улитки Паскаля

Olga Aleshina писал(а):
Какие пределы интегрирования будут в этом случае?


Решите уравнение [math]\sqrt2\left(2-3\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)\right)=0[/math].

И ещё: Вы в своей формуле [math]\frac12[/math] не забыли?

Автор:  Analitik [ 11 апр 2013, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь улитки Паскаля

Оба узла (большой и маленький) улитки начинаются и заканчиваются в одной и той же точке (одни и те же декартовы координаты). Определите в какой именно и решите уравнение.

Автор:  Olga Aleshina [ 11 апр 2013, 17:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь улитки Паскаля

Human писал(а):
Olga Aleshina писал(а):
Какие пределы интегрирования будут в этом случае?


Решите уравнение [math]\sqrt2\left(2-3\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)\right)=0[/math].

И ещё: Вы в своей формуле [math]\frac12[/math] не забыли?


Спасибо за ответ.
Да, 1/2, конечно же, забыла.

Уравнение решала. У меня получалось
[math]\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)=\frac{2}3,[/math]
т.е. пределы интегрирования от -arcsin(2/3) до +arcsin(2/3).
С такими пределами вычисление интеграла дает какой-то "страшный" ответ, а я
подозреваю, что ответ должен быть "красивым".

Автор:  Avgust [ 12 апр 2013, 00:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь улитки Паскаля

Надо очень внимательно отнестись к вычислению площади петли. Обязательно сверять результаты с графикой. Тогда ошибки исключатся.

Изображение

Так же внимательно вычислим площадь большой фигуры:

Изображение

PS.
1) Значение [math]\frac 95 \pi[/math] получается так:

[math]-\frac {\pi}{5}+2\pi[/math]

2) К сожалению, ответ не получился "красивым". Зато получился "верным".

Автор:  Olga Aleshina [ 12 апр 2013, 15:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь улитки Паскаля

Большое спасибо за такой подробный ответ!
Я так понимаю, что значения пределов интегрирования [math]\arcsin({\frac{2}{3}})- \frac{\pi}{5}[/math]
и [math]\arcsin({\frac{2}{3}})+ \frac{9 \pi}{5}[/math] находятся из решения уравнения

[math]\sin({\varphi + \frac{\pi}{5}})= \frac{2}{3}[/math]

(т.е. [math]\varphi = \arcsin({\frac{2}{3}})- \frac{\pi}{5}+2 \pi k, k \in Z[/math] )

А откуда берется предел интегрирования [math]\frac{4}{5}\pi - \arcsin({\frac{2}{3}})[/math] ?

Автор:  Avgust [ 12 апр 2013, 15:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь улитки Паскаля

Посмотрите параболический график. Там два пересечения с осью ОХ. Это и есть корни, которые являются решением уравнения

[math]2-3 \sin \left (t+\frac{\pi}{5} \right )=0[/math]

Общие решения:

[math]t_1=2\pi\, n -\frac{\pi}{5}+\arcsin \left (\frac{2}{3} \right )[/math]

[math]t_2=2\pi\, n +\frac{4\pi}{5}-\arcsin \left (\frac{2}{3} \right )[/math]

Проверьте сами!

Эти же корни дал Вольфрам: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2- ... *Pi%29%3D0

Автор:  Olga Aleshina [ 12 апр 2013, 15:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь улитки Паскаля

Теперь поняла.
Еще раз большое спасибо!

Автор:  Avgust [ 12 апр 2013, 16:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь улитки Паскаля

Пожалуйста :)

Последний угол тут изобразил:

Изображение

Этот угол не является решением системы: он виден из графика: это [math]2\pi+t_1[/math]. То есть интегрирование идет от [math]t_2\,[/math] до [math]2\pi+t_1[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/