| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Площадь улитки Паскаля http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=23345 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Olga Aleshina [ 11 апр 2013, 13:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Площадь улитки Паскаля |
Помогите найти площадь улитки Паскаля: [math]p=\sqrt{2}(2-3sin( \varphi + \frac{\pi}{5}))[/math]. Здесь нужно найти площадь двух фигур: самой улитки и ее узла. Площадь самой улитки я нашла: это интеграл- [math]\int\limits_{0}^{2 \pi}( \sqrt{2}(2-3sin( \varphi + \frac{\pi}{5})))^{2}d \varphi=17 \pi[/math]. А как найти площадь узла? Какие пределы интегрирования будут в этом случае? |
|
| Автор: | Human [ 11 апр 2013, 15:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь улитки Паскаля |
Olga Aleshina писал(а): Какие пределы интегрирования будут в этом случае? Решите уравнение [math]\sqrt2\left(2-3\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)\right)=0[/math]. И ещё: Вы в своей формуле [math]\frac12[/math] не забыли? |
|
| Автор: | Analitik [ 11 апр 2013, 15:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь улитки Паскаля |
Оба узла (большой и маленький) улитки начинаются и заканчиваются в одной и той же точке (одни и те же декартовы координаты). Определите в какой именно и решите уравнение. |
|
| Автор: | Olga Aleshina [ 11 апр 2013, 17:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь улитки Паскаля |
Human писал(а): Olga Aleshina писал(а): Какие пределы интегрирования будут в этом случае? Решите уравнение [math]\sqrt2\left(2-3\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)\right)=0[/math]. И ещё: Вы в своей формуле [math]\frac12[/math] не забыли? Спасибо за ответ. Да, 1/2, конечно же, забыла. Уравнение решала. У меня получалось [math]\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)=\frac{2}3,[/math] т.е. пределы интегрирования от -arcsin(2/3) до +arcsin(2/3). С такими пределами вычисление интеграла дает какой-то "страшный" ответ, а я подозреваю, что ответ должен быть "красивым". |
|
| Автор: | Avgust [ 12 апр 2013, 00:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь улитки Паскаля |
Надо очень внимательно отнестись к вычислению площади петли. Обязательно сверять результаты с графикой. Тогда ошибки исключатся. ![]() Так же внимательно вычислим площадь большой фигуры: ![]() PS. 1) Значение [math]\frac 95 \pi[/math] получается так: [math]-\frac {\pi}{5}+2\pi[/math] 2) К сожалению, ответ не получился "красивым". Зато получился "верным". |
|
| Автор: | Olga Aleshina [ 12 апр 2013, 15:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь улитки Паскаля |
Большое спасибо за такой подробный ответ! Я так понимаю, что значения пределов интегрирования [math]\arcsin({\frac{2}{3}})- \frac{\pi}{5}[/math] и [math]\arcsin({\frac{2}{3}})+ \frac{9 \pi}{5}[/math] находятся из решения уравнения [math]\sin({\varphi + \frac{\pi}{5}})= \frac{2}{3}[/math] (т.е. [math]\varphi = \arcsin({\frac{2}{3}})- \frac{\pi}{5}+2 \pi k, k \in Z[/math] ) А откуда берется предел интегрирования [math]\frac{4}{5}\pi - \arcsin({\frac{2}{3}})[/math] ? |
|
| Автор: | Avgust [ 12 апр 2013, 15:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь улитки Паскаля |
Посмотрите параболический график. Там два пересечения с осью ОХ. Это и есть корни, которые являются решением уравнения [math]2-3 \sin \left (t+\frac{\pi}{5} \right )=0[/math] Общие решения: [math]t_1=2\pi\, n -\frac{\pi}{5}+\arcsin \left (\frac{2}{3} \right )[/math] [math]t_2=2\pi\, n +\frac{4\pi}{5}-\arcsin \left (\frac{2}{3} \right )[/math] Проверьте сами! Эти же корни дал Вольфрам: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2- ... *Pi%29%3D0 |
|
| Автор: | Olga Aleshina [ 12 апр 2013, 15:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь улитки Паскаля |
Теперь поняла. Еще раз большое спасибо! |
|
| Автор: | Avgust [ 12 апр 2013, 16:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь улитки Паскаля |
Пожалуйста Последний угол тут изобразил: ![]() Этот угол не является решением системы: он виден из графика: это [math]2\pi+t_1[/math]. То есть интегрирование идет от [math]t_2\,[/math] до [math]2\pi+t_1[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|