Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 13:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2013, 13:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите найти площадь улитки Паскаля:
[math]p=\sqrt{2}(2-3sin( \varphi + \frac{\pi}{5}))[/math].
Здесь нужно найти площадь двух фигур: самой улитки и ее узла.
Площадь самой улитки я нашла: это интеграл-
[math]\int\limits_{0}^{2 \pi}( \sqrt{2}(2-3sin( \varphi + \frac{\pi}{5})))^{2}d \varphi=17 \pi[/math].
А как найти площадь узла? Какие пределы интегрирования будут в этом случае?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 15:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Olga Aleshina писал(а):
Какие пределы интегрирования будут в этом случае?


Решите уравнение [math]\sqrt2\left(2-3\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)\right)=0[/math].

И ещё: Вы в своей формуле [math]\frac12[/math] не забыли?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Olga Aleshina
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 15:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 18:32
Сообщений: 2466
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
698 раз в 602 сообщениях
Очков репутации: 186

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Оба узла (большой и маленький) улитки начинаются и заканчиваются в одной и той же точке (одни и те же декартовы координаты). Определите в какой именно и решите уравнение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Analitik "Спасибо" сказали:
Olga Aleshina
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 17:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2013, 13:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Olga Aleshina писал(а):
Какие пределы интегрирования будут в этом случае?


Решите уравнение [math]\sqrt2\left(2-3\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)\right)=0[/math].

И ещё: Вы в своей формуле [math]\frac12[/math] не забыли?


Спасибо за ответ.
Да, 1/2, конечно же, забыла.

Уравнение решала. У меня получалось
[math]\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)=\frac{2}3,[/math]
т.е. пределы интегрирования от -arcsin(2/3) до +arcsin(2/3).
С такими пределами вычисление интеграла дает какой-то "страшный" ответ, а я
подозреваю, что ответ должен быть "красивым".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 00:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надо очень внимательно отнестись к вычислению площади петли. Обязательно сверять результаты с графикой. Тогда ошибки исключатся.

Изображение

Так же внимательно вычислим площадь большой фигуры:

Изображение

PS.
1) Значение [math]\frac 95 \pi[/math] получается так:

[math]-\frac {\pi}{5}+2\pi[/math]

2) К сожалению, ответ не получился "красивым". Зато получился "верным".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Olga Aleshina
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 15:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2013, 13:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо за такой подробный ответ!
Я так понимаю, что значения пределов интегрирования [math]\arcsin({\frac{2}{3}})- \frac{\pi}{5}[/math]
и [math]\arcsin({\frac{2}{3}})+ \frac{9 \pi}{5}[/math] находятся из решения уравнения

[math]\sin({\varphi + \frac{\pi}{5}})= \frac{2}{3}[/math]

(т.е. [math]\varphi = \arcsin({\frac{2}{3}})- \frac{\pi}{5}+2 \pi k, k \in Z[/math] )

А откуда берется предел интегрирования [math]\frac{4}{5}\pi - \arcsin({\frac{2}{3}})[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Olga Aleshina "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 15:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите параболический график. Там два пересечения с осью ОХ. Это и есть корни, которые являются решением уравнения

[math]2-3 \sin \left (t+\frac{\pi}{5} \right )=0[/math]

Общие решения:

[math]t_1=2\pi\, n -\frac{\pi}{5}+\arcsin \left (\frac{2}{3} \right )[/math]

[math]t_2=2\pi\, n +\frac{4\pi}{5}-\arcsin \left (\frac{2}{3} \right )[/math]

Проверьте сами!

Эти же корни дал Вольфрам: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2- ... *Pi%29%3D0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Olga Aleshina
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 15:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2013, 13:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь поняла.
Еще раз большое спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 16:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста :)

Последний угол тут изобразил:

Изображение

Этот угол не является решением системы: он виден из графика: это [math]2\pi+t_1[/math]. То есть интегрирование идет от [math]t_2\,[/math] до [math]2\pi+t_1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Площадь поверхности при вращении улитки Паскаля

в форуме Интегральное исчисление

Deores

5

276

31 май 2020, 12:53

Найти площадь огр улиткой паскаля

в форуме Интегральное исчисление

_VV_

1

141

18 май 2022, 13:14

Пирамида паскаля?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

+-30

7

530

08 мар 2018, 13:12

Улитка Паскаля

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ViktorArs

3

418

13 сен 2019, 14:08

Купол Паскаля

в форуме Размышления по поводу и без

festino

1

389

11 окт 2019, 14:03

Задачка из треугольника Паскаля

в форуме Теория чисел

ivashenko

48

1724

08 ноя 2017, 01:06

Степень суммы и треугольник Паскаля

в форуме Алгебра

Valshe

7

544

26 июл 2015, 20:40

Доказать свойство треугольника Паскаля

в форуме Алгебра

argus

1

280

22 ноя 2017, 23:47

Треугольник Паскаля и степени натуральных,найти коэффициенты

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

32

694

24 окт 2022, 16:37

Найти площадь площадь ограниченной линиям

в форуме Интегральное исчисление

bibibo

3

687

15 апр 2014, 19:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved